Vízügyi Közlemények, 1937 (19. évfolyam)

1. szám - vitéz Filep Lajos: Egyenlő gömbökből álló halmazok

138. 2r-nél kisebbnek választanok. Ezért a szélső értékvizsgálatunk közben feltételezzük, — hogy az egyik rétegtávolság 2r. Független változónak a másik rétegtávolságot választom és ezt m-el jelölöm meg. Az alapidom egyik oldala ez esetben ]f 4r

2—m

2 Az alapidom területe 3 (ár

2—m

2) ][3 A= Az alapidomra jutó saját rétegbeli gömbök száma n=l. A rétegtávolságok m

1=m m

2=2r. Ezeket az értékeket a sűrűség II. alatti képletébe helyettesítve : 4r

3* 2 16г

3я 1 s [1, 0,3] = . 3 ár

2 — m

2 y- (

9

r \ 9^3 8r

3 -{- 4r

2m—2rm

2— 1/3 (^2r + m^j 2 Ennek a kifejezésnek szélső értéke akkor van, amikor az utolsó tört nevezőjének szélső értéke van : ez esetben pedig a nevező m szerinti első differenciál hányadosa zérus : vagyis d -r—(8r

3 -4- 4r

2m — 2rm

2 — m

3) = 4r

2 — 4rm—3m

2= 0 dm 4r 4 r

2 2 2 azaz m

2 + — m — —— = 0 ebből m = —r, vagyis m

x = — r 3 3 3 ' 3 Ha a 8r

3+4r

2m—2rm

2—m

3 értéknek maximuma van ; ekkor második differenciál hányadosa negatív, másrészt a sűrűség ekkor minimális. d

2 (8r

3 -j- 4r

2m — 2 rm

2 — m

3) = — 4 r — 6m. dm

2 2 Valóban ez az érték m = —r esetén negatív. Tehát az [1, 0, 3] halmaz akkor a 3 legritkább. A következők során az [f, lc, a] halmaz legkisebb sűrűségét S [f, к, a] jelö2 mírt. léssel látom el. Helyettesítsük most az m = — r értéknek megfelelő értékeket a sűrűség II. alatt közölt képletébe, lesz : 4 _ A szabályos hatszög alapterület egyik oldala — r Y2, ennek területe A = 3 — 2г

2И = — r

2][~3. 9 2 3 v Az alapterületre jutó gömbfelületek száma n = 1. ágok m

1 = 2r, m

2 = 4r

3* 2 _"Y3 2 A rétegtávolságok m

1 = 2r, m

2 = — r, tehát 3 S [1, 0, 3] = 3 16 /

0 , 2 \ 16 ~3 V

3 {

2

r + 3

r) Ezek szerint az [1, 0, 3] négyszomszédos halmaz sűrűsége S [1, 0, 3] г уз 16 értéktől $ [1, 0, 3] = értékig változhat. max. J\2 A következőkben lehetőleg sokféle összenyomhatatlan, egyenlő gömbökből álló egyenletes halmazt állítunk elő, azok minimális sűrűségét az Sfl, 0, 3]-hoz hasonlóan kiszámítjuk. mi

n