Starosolszky Ödön: Vízépítési hidraulika (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970)

XIII. Sebességeloszlás. Határréteg. Diffúzió

Vizsgáljuk először azt az egyszerű esetet, midőn a töménység x = 0-nál állandó (XIII-36. ábra). Az áramlás iránya x pozitív irányba mutasson és x = 0-nál legyen egy határfelület, amely elválasztja kezdetben 1 = 0 időpontnál a kétféle folyadékot. A turbulencia legyen homogén, azaz Du = Dt és x-től független. A kezdeti és határfeltételek ezek szerint

o

II

O

I

S 0;

c(x, 0) = 0,

x^0;

c(°o, t) = 0,

xSO.

A megoldás a relatív koncentrációra

c 1

^ = 2‘e

ír r í*+c"l I ‘„f Jx~u‘

(13/69)

emlékeztet a molekuláris diffúzió megoldására. A koncentrációgörbe középső pontja |c = yj U sebességgel mozog. Amint í —a permanens állapot elérésekor pozitív

c

U esetén — = 1, minden x értékre, mivel erf c ( + °o) = 0 és erf c (-») = 2.

c0

Az egyenletből látható, hogy ha U=0, a határfeltétel tartása érdekében a kezdeti koncentráció a negatív x mezőnyben 2c0 és így

erfc

2) jDxty

(13/70)

tehát ha Dt = D, a molekuláris diffúzió egyenletét kaptuk meg.

Amennyiben a sebesség a negatív x irányba mutat (XUI-36b ábra), azaz u = — Ur, és felvéve t -*■ °° állapotot, a permanens helyzetet a

U rX

c =

exponenciális függvény írja le, ha Dt és Ur független x-től.

* A hibafüggvény, rövidítve erfz közismert matematikai függvény:

erf z = — f e~',2dt/. o

A hibafüggvény sajátságai a következők:

erf(—z)= — erf z; erf(0) = 0, erf(l) = 1.

oo co z

írható továbbá, hogy f e~i2dtj = f — f e~'i2 ár] = 1-erfz = erfcz, vagyis bevezethető

z 0 0

egy új függvény, az erfc, amelyet hibafüggvény kiegészítésnek neveznek. A hibafüggvény számértékeit az F-IX. táblázat tartalmazza.

640