Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)
1. Valószínűségszámítási alapfogalmak
X“ A Felhasználva az ln (l+jc)=jf——■ +------... sorfejtést, egyszerű számolással ki2 3 mutathatjuk, hogy í 2,\ ) \n + k) — —------— ^ ( í) ' (1.4) ami statisztikai alkalmazások szempontjából könnyen kezelhető eredmény. □ 3. példa. Futamok. Az előző bolyongási példával kapcsolatban számos olyan érdekes statisztikai problémát vizsgálhatunk, amelyeknek igen fontos a gyakorlati alkalmazása. E kérdések egyike a „futamok” vizsgálata. Futamon egyforma jegyek megszakítatlan sorozatát értjük. Például az alábbi + 1, +1, -1, -1, +1, -1, -1, +1, +1, +1, -1, +1, -1 sorozatban négy darab 1-es futam (2, 1,3, 1 hosszúságúak) és négy darab — 1-es futam található (2, 2, 1,1 hosszúságúak). (A bolyongást trajektóriával ábrázolva egy futam a trajektória egy töretlen szakasza.) Tételezzük fel, hogy egy N hosszúságú sorozat n darab 1-est és m darab — 1-est tartalmaz. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy az összes futamok száma R = 2k legyen. Jelöljük 7? + 1-gyel az 1-es jegyekből álló futamok számát, f?-i-gyel a —1-es futamokét. A sorozat vagy + 1-gyel, vagy — 1-gyel kezdődik. Amennyiben a sorozat 1-gyel kezdődik, akkor — l-gyel kell végződnie ahhoz, hogy R=2k lehessen. Mivel a sorozatban n db 1-es szerepel és a + 1-es jegyekből álló futamok szempontjából a — 1-es futamok csak elválasztó szerepet játszanak, ezért R,=k annyiféle módon következhet be, ahányféle módon n db + 1-es jegyből álló sorozat k szakaszra tördelhető. Egy ilyen szakaszokra való tördelést k — 1 számú vonással elvégezhetünk. Például: n = 8, k = 3 esetén egy lehetséges eset: 111|111|11. Az n db 1-es között (n — 1) hely található a vonások számára, az {R1 = k} esemény _J J-féle módon következhet be. Hasonlóan látható be, hogy az {/?„ = £} esemény ^ I j-féle módon állhat elő. Amennyiben most az //db (+1 )-es jegyből álló s orozatot valahogyan felbontottuk k — I vonás segítségével k szakaszra, akkor a vonások helyére beépíthetjük az m db ( — l)-es jegyből álló sorozat k szakaszra történt minden felbontását. Amikor tehát a sorozat (+ l)-gyel kezdődik és (-l)-gyel végződik, akkor az {/? = 2A:} esemény-féle módon következhet be. Világos, hogy ugyanennyi módon következhet be az {R = 2k} esemény akkor, ha a sorozat 36
