Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)

1. Valószínűségszámítási alapfogalmak

Amennyiben most B a kísérlettel kapcsolatos olyan esemény, amely k számú elemi eseményből áll, akkor megjegyzésünk alapján:

P(B) = 2 P^!) = -■

<",£« n

Ezzel a következő tételt kaptuk:

4. tétel. Amikor egy kísérletben n elemi esemény valamelyike következhet be és mindegyik elemi esemény egyforma valószínűségű, akkor k számú elemi eseményt

k

tartalmazó B esemény valószínűsége: P(B) ——.

n

Megjegyezzük, hogy a valószínűségszámítás megszületésének kezdeti időszakában főleg olyan kísérleteket vizsgáltak, amelyeknek véges sok kimenetelük van és minden eset egyforma valószínűségű.

A következő tétel a valószínűségnek a monotonitását fejezi ki, amely szerint valamely halmaz valószínűségi mértéke nem kisebb bármely részhalmazának valószínűségi mértékénél.

5. tétel. Amikor Az)B, akkor P(A)^P(B).

A tétel belátásához vegyük figyelembe, hogy ha Az>B, akkor A — B+ÄB, tehát P(A) = P(B + AB) = P(B) + P(AB),

ahol P(AB)^0.

1.1.3. Kombinatorikai alapok

A valószínűségszámításban és a modern matematikai statisztikában nagy szerepet játszanak a kombinatorikus meggondolások. Ezért röviden összefoglaljuk azokat a legegyszerűbb kombinatorikai alapfogalmakat, amelyekre a továbbiakban számos esetben hivatkozunk.

A kombinatorika véges halmazokra vonatkozó megszámlálási problémákkal foglalkozik. Legyen az A halmaz az első n természetes szám halmaza: A={ 1,2, ..., n).

1. Permutációk. Az első probléma, amelyet az A halmazzal kapcsolatban vizsgálunk az, hogy hányféle sorrendben tudjuk felírni az A halmaz elemeit (az 1, 2, .... n számokat) úgy, hogy mindegyik szám csak egyszer szerepelhet. Az első helyre az n darab szám bármelyikét írhatjuk, a második helyre a fennmaradó (n — 1) darab szám bármelyikét, harmadik helyre a még nem írt («—2) darab szám bármelyike kerülhet stb.

Az összes lehetséges sorrendek száma: n(n— 1)...3 • 2 • 1. Az 1,2, ..., n számok minden egyes sorrendjét egy-egy permutációnak nevezzük.

Jelöljük .^„-nel az 1,2,...,« számból alkotható összes lehetséges permutációk

27