Reimann József - V. Nagy Imre: Hidrológiai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1984)
4. A fontosabb valószínűségeloszlások áttekintése
A kettős exponenciális eloszlás kétszeres logaritmusát véve kapjuk: a(x — ß) = —In [—In F(x)], ezért az F(x) érték kettős logaritmikus léptékben és az x érték aritmetikus léptékben való ábrázolása esetén az eloszlásfüggvény egyenes vonallal jellemezhető. Az ilyen koordináta-rendszerben F(x)=0,368 a modus értékét adja, azaz m — ß. Az a paraméter hasonlóképpen becsülhető az X2 és X1 kvartilisokkal. A hidrológiai alkalmazás során az okoz néha problémát, hogy a kettős exponenciális eloszlásfüggvény nem korlátos, tehát csak pozitív értékeket felvevő változók esetében szigorúan véve nem alkalmazható. Meg kell azonban jegyezni, hogy pl. az éves maximális vízhozamok vizsgálatánál a zérus körüli valószínűségekhez tartozó értékeknek nincs gyakorlati jelentőségük, mivel a vizsgálat tárgyát az egységhez közeli valószínűséghez tartozó vízhozamok képezik. Annak sincs akadálya, hogy olyan csonkított eloszlásfüggvényt használjunk, amely a zérusértékkel kezdődik. Ez esetben már a fizikai alap is reálissá válik, mivel pl. arid zónákban száraz években a zérusértékű maximális vízhozam valóban előfordulhat. Egyébként könnyen bizonyítható, hogy csonkítatlan eloszlásfüggvény esetén az x^O értékekhez csak kb. 0,17 valószínűségérték tartozik, így gyakorlatilag az eloszlásfüggvény túlnyomó része a fizikailag reális pozitív változóértékek tartományába tartozik. A kettős exponenciális eloszlás alkalmazhatóságának egy másik elfogadható kritériumát szolgáltathatja az, hogy a ferdeség és a lapultság paramétereit momentummódszerrel számítjuk, és a kapott értékeket összehasonlítjuk a kettős exponenciális eloszlás elméleti állandóinak értékeivel. Amennyiben a tapasztalati és elméleti értékek jó egyezést mutatnak, akkor a kettős exponenciális eloszlás valóban alkalmazható. A különböző eloszlásfüggvények hidrológiai alkalmazhatóságának eldöntése során egyébként célszerű úgy eljárni, hogy 1. az észlelt adatok alapján keressük a legjobban illeszkedő eloszlásfüggvényt, felhasználva a vizsgált hidrológiai változó korábbi illesztési tapasztalatait; 2. figyelembe vesszük a változó azon fizikai tulajdonságait, amelyek befolyásolhatják az eloszlás jellegét. Előfordulhat, hogy a vizsgált változó statisztikai sokasága normális eloszlást követ, azonban az éppen vizsgált minta eloszlása kifejezetten aszimmetrikus. Amennyiben fizikai meggondolások alapján valószínűsíthető, hogy a statisztikai sokaságnak valóban normál eloszlást kell követnie, akkor a minta illesztésére is ezt kell használni, függetlenül a minta aszimmetriájától. Az extrém minimumok eloszlásának vizsgálatára R. A. Fisher és L. H. C. Tippett a korlátos exponenciális eloszlást javasolta az alábbi formában; F(x) = exp [- (^—;) ] > * = 7, a > 0, ß > y, y ^ 0, 162
