Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 5. Nevezetes valószínűségeloszlások
például egy szövőgép esetén két fonalszakadás közötti idő A paraméterű exponenciális eloszlású, akkor a &-adik fonalszakadásig eltelt idő A, k paraméterű gamma-eloszlású, ha a fonalszakadás és a hiba kijavítása közti idő elhanyagolható. Definíció. A £ valószínűségi változót A, n paraméterű (A>0; n egész és n^. 1) gamma-eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye: x e R esetén f„(x) 0, ha x^O, AV-1 ,-------------e"**, h a x>0. (»-D! Az /„-bői látható, hogy fl(x) = (mivel 0! = 1), ha jc > 0; azaz a A, 1 paraméterű gamma-eloszlású valószínűségi változó A paraméterű exponenciális eloszlású. Mielőtt belátjuk, hogy /„ valóban sűrűségfüggvény, megadjuk az ún. teljes gammafüggvényt, melyet a várható érték és a-szórás kiszámításakor is felhasználunk. A teljes gammafüggvény a következő: + 00 f(a) = f ua~,e~u du, oc>0. Parciális integrálással belátható, hogy /"(a+1) = a.T(a). Megjegyezzük még, hogy rQ) = Ha a= I’ akkor Al) = í e~u du = 1. Ha a = «^ 1 és egész, akkor a r(n+ 1) = nr{ri) és a /\1)= 1 felhasználásával az adódik, hogy r(/i+l) = n\. Az /„^ 0; valamint + 00 + 00 + 00 í fn(x)dx= í / e Xxdx = ■■ 1 í J J («-!)! («-!)! J — oo 0 0 az improprius integrál értéke r(n) (u = Xx), de n ^ 1, egész; ezért + 00 I /„ = —-—(»— 1)! = 1. J Jn («-1)1 — oo Tehát /„ valóban eloszlást ad meg. A 20. ábrán a 1= 1 paraméterű flt f2, f3 sűrűségfüggvények grafikonja látható. 95
