Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 5. Nevezetes valószínűségeloszlások

-ße-*- -[*"*]«

M(<f) = lim ([-xe-^^e-^dx] = lim (

ß-cc \ 0 / ^“,c0 V

1^

X

mivel lim ße ^ = 0 (a L’Hospital-szabály felhasználásával), és lim e Xß = 0. Tehát

ß~* oo ß—* co

vagyis a várható érték a X paraméter reciproka. Ebből látható, hogy ha egy exponenciális eloszlású £ várható értéke ismert, akkor ismert az eloszlása.

A szórást a szórásnégyzetre vonatkozó tétel alapján számítjuk ki. Először számítsuk ki a £2 várható értékét!

+ 00 fi / fi \

= f x2Xe~Xx dx = lim \ x2Xe~Xx dx - lim ([ — x2e~X:cf)Jr2 f xe~Xx dx ] =

o o ß-00 V o /

= lim ( - ß2e~Xß+2- f xXe-2* dx) =

/»-®\ X o ) X2

mivel az első tag határértéke 0 (a L’Hospital-szabály felhasználásával), a második tagban kialakított integrál határértéke pedig M(£).

D2(£) = ±

X2 X2 X2

ebből a szórás:

0(0 4

Tehát az exponenciális eloszlású valószínűségi változó szórása a várható értékével egyenlő.

Az eloszlás mediánja a definíció (1. 4.3.4 A) szerint ott van, ahol

F(m.) = ^ 1 —e~Xm' = ^,- Xnte _

1

2 ’

93