Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 5. Nevezetes valószínűségeloszlások
Mivel az ismételt kísérletek függetlenek, ezért az indikátorváltozók is függetlenek és azonos eloszlásúak. Tehát az n paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó n darab független, azonos eloszlású indikátorváltozó összegeként is megadható. Ha az A esemény bekövetkezésének valószínűsége p, akkor az r/rk eloszlása: P(tji=l) = p, P(tji = 0) = q. Az indikátorváltozók várható értéke: = p + Oq = p\ szórásnégyzete pedig: D\r,i) = l2p + 02q-p2, D2(rn) = p-p2 = p( 1 ~p) = pq. A £ várható értéke az összeg várható értékére vonatkozó tétel felhasználásával kapható, vagyis M(£) = M(t]i + q2 + ■■■ + qn) = np. A £ szórásnégyzetének meghatározásakor pedig az összeg szórásnégyzetére vonatkozó tétel alkalmazható (az t]rk függetlenek), vagyis Z)2(£) = D2(t]1 + rj2 + ■■■ + qn) = npq. Tehát a binomiális eloszlású £ valószínűségi változó várható értéke és szórása: M(f) = np, D(0 = ]fnpq, ahol q = 1—p. Könnyen belátható, hogy adott n esetén a é; szórása akkor a legnagyobb, ha p = 0,5 , \fn , , ............... ( ez a/»(l — p) maximumhelye), a szórás értéke ekkor —. így az n paraméterű binomiális eloszlású £ valószínűségi változó szórásnégyzetének felső korlátja azaz Az eloszlás móduszának meghatározásához képezzük a £ egymást követő értékeihez tartozó valószínűségek hányadosát! 82
