Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői
4. Tétel. Ha a £%, 6> .... 6 független valószínűségi változók szórása létezik, akkor a valószínűségi változók összegének szórásnégyzete az egyes valószínűségi változók szórásnégyzetének összege; azaz ha 6. 6> £„ függetlenek, akkor ű2(6 + £ 2+ ...+&) = z>2(6)+£2(6)+...+£2(£ „). Ha a független valószínűségi változók szórása megegyezik - /)(£,•) = o, i= 1, 2,n -, akkor a 4. tétel szerint 02(6 +6+ ..• + £«) = no2. így a valószínűségi változók összegének szórása: .0(6+6 + .•• + £») = j/íw. Ebből látható, hogy ha egyre több független valószínűségi változót összegzünk, akkor az összeg szórása lassabban nő, mint a tagok száma; ami azt jelenti, hogy az összeg eloszlása lényegesen lassabban terjed szét, mint ahogy a tagok száma nő. Ennek a gyakorlatban nagy szerepe van. 4.3.3 A momentumok A valószínűségi változó jellemzésére használjuk az ún. momentumokat is, melyek a mechanikából ismert nyomatékok megfelelői; az ún. centrális momentumok - a valószínűségi változónak a várható érték mint „centrum” körüli eloszlására jellemző számértékek - pedig a súlyponti tengelyre vonatkozó nyomatékok megfelelői a valószínűségszámításban . Definíció. A £ valószínűségi változó momentumainak nevezzük a következő számértékeket (kSí 1, keN): a k-adik momentum a k-adik abszolút momentum a k-adik centrális momentum a k-adik centrális abszolút momentum M(t), 16*1), Láthatjuk, hogy é, első momentuma M{£), vagyis a valószínűségi változó várható értéke. Ha a é, diszkrét és végtelen sok értéket felvehet, akkor várható értékről csak abban az esetben beszélünk (1. 4.3.1), ha az A/(£) sor abszolút konvergens; vagyis ha a 161 várható értéke létezik; ez pedig az első abszolút momentum - M{ 16) - létezését jelenti. Ugyanilyen feltételt adtunk meg a folytonos valószínűségi változó várható értékének létezéséhez is. A £, első centrális momentuma M(£ — A/(£)) = 0 (L 4.3.2), a 76
