Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői

P(^a) = P(t>a) = 1 -F(a) = ff~ j f = +f/

— oo — oo a

(felhasználtuk a sűrűségfüggvény 2. tulajdonságát).

A Newton-Leibniz tétel felhasználásával pedig

P(a^<b) = F{b)-F(a) = }/;

a

valamint

P{a<Z<b) = P(a^<b) = P(a<^b) = P(a^^b).

b

Az j / geometriai jelentését felhasználva azt

a

is mondhatjuk (mivel /Sí 0), hogy az / sűrűségfüggvény [a, ó]-beli grafikonja alatti sík- idom területének mérőszáma megadja annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó értéke az a és b által meghatározott (nyílt vagy zárt) intervallumba esik (13. ábra).

Vigyázzunk arra, hogy míg az F eloszlás- függvénynél egy függvényérték bizonyos valószínűséget ad meg [F(x) = P(£, < x)], addig az / sűrűségfüggvény esetén a függvényértéknek nincs ilyen jelentése. A sűrűségfüggvénynek az integrálja, geometriailag pedig a függvény bizonyos intervallumbeli grafikonja alatti síkidom területének mérőszáma ad egy valószínűséget.

Miről adnak tájékoztatást a sűrűségfüggvény értékei? Tudjuk, hogy ha egy intervallum hossza kicsi, akkor az intervallumbeli grafikon alatti területet téglalap területével közelíthetjük. Kis Ax esetén annak valószínűsége, hogy £ az [x, x + Ax) intervallumba esik

x + Ax

P(x^£<x + Ax) = J f(t)dt « f(x)Ax.

(A sűrűségfüggvény alatti síkidom téglalapokkal történő közelítésével találkozunk majd a matematikai statisztikában.) Az /(x)-et kifejezve:

P(x^^<x + Ax)

vagyis, ha Ax kicsi, akkor f(x) közelítőleg a £ [x, x + Ax) intervallumba esési valószínűségének és az intervallum hosszának hányadosa, azaz az x tengely egységnyi hosszúságú intervallumára jutó valószínűség (tehát sűrűség).

57

13. ábra