Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
I. rész. Valószínűségszámítás - 4. A valószínűségi változó és jellemzői
Tehát a {a^£<b} esemény valószínűségét az eloszlásfüggvény b és a helyen vett helyettesítési értékének különbsége adja. A {£ = a} esemény valószínűsége a 3. tulajdonság alapján 0, ha az eloszlásfüggvény az a helyen folytonos. Ha az eloszlásfüggvénynek az a helyen szakadása van, akkor a 3. tulajdonságból következik, hogy P(£ = a) = limF-F(a). a + 0 A 8. ábrán egy folytonos eloszlásfüggvény képe látható. m<a) = F(a), P(a^<b) = F(b)-F(a). Például az 1. példában szereplő £ (a megvizsgált termékek száma) Feloszlásfüggvényének felhasználásával P{£ = 3) = lim F-F(3) = 0,488-0,36 = 0,128; de pl. 3 + 0 P(£ = 3,1) = 0, mivel a 3,1-nél az F függvény folytonos (a {£ = 3,1} egyébként, az adott £ esetén, lehetetlen esemény). A 2. példában értelmezett £ valószínűségi változó (a találati pontnak a céltábla középpontjától mért távolságának mérőszáma) Feloszlás- függvényének felhasználásával P(£ = ri) = 0, mivel az F függvény folytonos; vagyis 0 annak a valószínűsége, hogy a céltáblával koncentrikus ri sugarú kört (körívet) éri a lövedék; bár ez nyilvánvalóan nem lehetetlen esemény, ha 0 iS r2 ^ R. Annak valószínűsége pedig, hogy a céltáblával koncentrikus ri, r2 sugarú (0<ri<r2<F) körökkel határolt körgyűrűbe esik a találati pont P(ri <í,<r2)=z P{ri^£,<r2) = r! ri = F(r2)-F(n) = ~ S = R R 2 2 r2~r i R2 (a geometriai valószínűség felhasználásával ezt közvetlenül is megkaphatjuk). Ha a diszkrét valószínűségi változó eloszlása a lehetséges értékeivel és ezek bekövetkezési valószínűségeivel adott, akkor az eloszlásfüggvény meghatározható. Legyenek a £ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei jci, x2,x„,... (véges számú érték is lehet), és legyenek ezek bekövetkezési valószínűségei Ph P2i '••iPni ••• ■ Ha a {£<*} lehetetlen esemény, akkor F(x) = 0; egyébként a {£<*} esemény bekövetkezésekor a £ az jc-nél kisebb lehetséges értékei közül legalább az egyiket felveszi, ezért a {£<*} esemény ezen egymást kizáró események összege; így a 3. axióma szerint P(£<X) = X P(£ = X,) = X Pixfix Xi<x Tehát a £, diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye'. Vx e R esetén F(x) = X PtXi<X 49 8. ábra
