Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

I. rész. Valószínűségszámítás - 3. A valószínűség

b) Annak valószínűsége, hogy a visszatevéses mintavétellel vett 10-elemü mintában pontosan 2 selejt lesz:

P(B2) = ^ [P(zl)]2[l ~/>(zl)]8 = 0,0722 • 0,9288 a 0,128.

Ez azt jelenti, hogy 100-szor vett 10-elemü minta közül kb. 13-ban pontosan két selejt van.

Az előző példával kapcsolatban felvethetjük a következő kérdést is: Ha a teljes termelésből kivett egyetlen termék selejt, akkor mi annak a valószínűsége, hogy ez például a 2. héten készült? Ez az előző példa a) kérdésében felvetett probléma megfordítása; ugyanis a P(B2\A) valószínűséget kell meghatároznunk. A kérdésre a választ a most következő Bayes-tétel felhasználásával adhatjuk meg.

Bayes-tétel. Ha a B{, B2, ... Bn események teljes eseményrendszert alkotnak, és P(Bi)>0 (i'=l, 2, ... n), valamint A egy tetszőleges pozitív valószínűségű esemény, akkor

I PIA B.lPIB.I

Bizonyítás. A feltételes valószínűség definíciója szerint

P(Bk\A) =

P(BkA)

P(A) '

A számlálóban a szorzási szabály (itt Bk legyen a feltétel), a nevezőben pedig a teljes valószínűség tételének felhasználásával

V PÍA\H,)PiP.Í

i= 1

A Bayes-tétel akkor alkalmazható, ha egy esemény feltételes valószínűségét kell meghatároznunk, és megadható egy olyan teljes eseményrendszer, melynek egyik eleme a szóban forgó esemény, valamint ismertek a feltételt jelentő eseménynek ezen teljes eseményrendszer elemeire vonatkozó feltételes valószínűségei és a teljes eseményrendszert alkotó események valószínűségei is.

Példa. Az előző példa adatait felhasználva, adjuk meg a Bayes-tétel előtt felvetett probléma megoldását: ha a teljes termelésből kiválasztott egyetlen termék selejt, akkor mi a valószínűsége annak, hogy ez a 2. héten készült?

35