Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)

II. rész. Matematikai statisztika - 12. Korreláció- és regresszióelmélet

12.2 Korreláció- és regresszióelemzés két valószínűségi változó esetén

Két valószínűségi változó - d; és tj- sztochasztikus kapcsolatát illetőleg legteljesebb információt a két változó együttes eloszlásából nyerünk. Az alábbiakban tehát a kétdimenziós folytonos eloszlást vizsgáljuk. Megmutatjuk, hogy a folytonos eloszlású £ és rj valószínűségi változók h(x, y) együttes sűrűségfüggvénye segítségével néhány mennyiséget kell kiszámítani ahhoz, hogy a két változó kapcsolatát elméletileg jellemezhessük.

A korábbiakban láttuk (lásd: 4.2.1 pont), hogy a £ valószínűségi változó f(x) sűrűségfüggvényét, ill. az rj változó g(y) sűrűségfüggvényét a h(x, y) együttes sűrűség- függvényből megkaphatjuk a következő módon:

Vx e R és Vy e R esetén

00 ' 00 I h(x, y) dy = /(x), ill. J h(x, y) dx = g(y).

— 00 — 00

Ugyancsak kiszámíthatók h(x, y) segítségével az alábbi momentumok:

Definíció. A c és tj valószínűségi változók közötti korrelációs együttható

M[Z-m)\ [ri-Mjg)j _ M(£ •

D(Z)D(r,) D(£)D{tj) o,g2 '

A számlálóban levő mennyiséget a £ és r\ közötti kovarianciának nevezzük, a nevezőben pedig a szórások szorzata van.

A korrelációs együtthatóra vonatkozólag kimutatható, hogy ha p=±l, akkor rj = a£ + b, vagyis lineáris kapcsolat áll fenn a két változó között, azaz £ értéke

222