Reimann József - Tóth Julianna: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Tankönyvkiadó, Budapest, 1989)
II. rész. Matematikai statisztika - 11. A statisztikai hipotézisek (feltevések) vizsgálata
ezért a Csebisev-egyenlőtlenség alapján pi wW-Wi> iparai) 4 Minthogy F(x)[l -F(x)] , látható, hogy |F„(x) — F(x)\ nagyságrendje bármely 2 |/n x helyen. Ennek alapján a maximális eltérést is ilyen nagyságrendűnek várjuk. A D„ mennyiség maga is valószínűségi változó, hiszen értéke a íi, £2, •••, £„mintaelemektől függ. Glivenko tétele alapján 1 valószínűséggel £)„->0, ha « —> co, mégpedig olyan gyorsan, mint az i-pi sorozat. Ha a D„ mennyiséget megszorozzuk l/n-nel, azaz (y«j képezzük a | «Z)n statisztikát, akkor ez már nem tart 0-hoz, ha «-»oo-hez. A fnD„ statisztika - mivel valószínűségi változó - valamilyen eloszlással rendelkezik, ennek határeloszlását határozta meg A. N. Kolmogorov. Tétel (Kolmogorov). Ho fennállása esetén, tehát ha a szóban forgó eloszlás valóban F, akkor P{]fnD„< z)-+ K(z) = X (-1 )V2AV. X= — oo A K(z) függvény értékeit a Függelék VIII. táblázata tartalmazza. Ennek alapján a Kolmogorov-próbát a következőképpen hajtjuk végre: Ha H0 hipotézisről 1 — e = 0,95 szinten kívánunk dönteni, akkor a VIII. táblázatból megkeressük azt a z0 számot, amelyre K{z0) = 0,95. Azt találjuk, hogy z0 = l,35. Tehát P(fiDn< 1,36) « 0,95, ha n nagy szám. Ez azt jelenti, hogy P(^nD„^. 1,36) ~ 0,05. Ha most az adott minta esetében a | nD„ statisztika értéke nagyobb, mint 1,36, akkor H0 fennállása esetén igen kis valószínűségű esemény következne be. Ekkora eltérést Fn és F között nem tekinthetünk a véletlen játékának, inkább arra következtetünk, hogy a nagy eltérés annak következménye, hogy a sokaság tényleges eloszlásfüggvénye különbözik F-től, ezért H0-1 elutasítjuk. A Kolmogorov-próba tetszőleges folytonos eloszlás esetében alkalmazható, mert a jnD„ statisztika eloszlása nem függ attól, hogy milyen eloszlásról van szó, csak attól, hogy a minta eloszlásfüggvényét, Fn-1 annak a sokaságnak a tényleges Feloszlásfüggvényéhez illesztjük-e, amelyből a minta származik. 202
