Kozák Miklós: A szabadfelszínű nempermanens vízmozgások számítása digitális számítógépek felhasználásával (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1977)

Első rész. A szabadfelszínű permanens és nempermanens vízmozgások elmélete - 2. A szabadfelszínű nempermanens vízmozgások differenciálegyenletei

tek (rendszerek) megoldása az előbbieknél lényegesen nehezebb. Tekintsünk néhány olyan szempontot, melyek magyarázatot adnak arra a kérdésre, hogy miért jelentkeznek komoly nehézségek a parciális differenciálegyenletek kvalitatív vizsgálatai során. Az egyik jelentős eltérés a megoldások halmazában van, amelyet a közönséges differenciálegyenletek körében az ún. egzakt, általános megoldás lényegében jellemez; ez annyi független paramétert tartalmazó függvény család, mint amekkora az egyenlet rendszáma. Reguláris esetben az általános megoldás tartalmazza a differenciálegyenlet minden egyedi, 'partikuláris megoldását. Az általános megoldás ismeretében a kezdeti, vagy perem érték feladatokat aránylag egyszerűen, bizonyos egyenletrendszerek megoldásával meg tudjuk határozni. Numerikus megoldási módszerek mindig partikuláris megoldást szolgáltatnak.

Parciális differenciálegyenletek esetén az általános megoldásnak olyan függvény - családot szokás nevezni, amelyben bizonyos függvényosztályok tetszőleges függvénye szerepelhet — mégpedig annyi, egymástól független függvény, mint amekkora az egyenlet rendszáma. [205]

Az általános megoldás lényegében szabatos, egzakt megoldásként fogható fel, ami alatt azt értjük, hogy a megoldást ismert függvényekkel tudjuk kifejezni. Az említett nehézségek miatt a szóban forgó differenciálegyenlet-rendszert általános alakban a matematika mai állása mellett, szabatosan nem, de a fizikai valósághoz igen közelálló módon, közelítően meg lehet oldani.

Matematikai szempontból célszerű a két differenciálegyenletet a következő általános alakban felírni:

AjZx -f- A2Z't -(- A3Q'X -j- AAQt — A5,

^lzx + -®2 z't + B3QX + Bfft — B3,

ahol

z* =

dz

dx

Zf =■

dz 91

Qx =

9Q

dx

Qt = -zr

9Q

91

(2.5-1)

(2.5-2)

a megfelelő parciális differenciálhányadosok, Av A2, . . . Ar; Bv B2, . . . B5, pedig a z(x, t) és Q(x, t) ismert függvényei, melyek értéke:

Ax — 0; A2 — B\ A3 — 1; A4 B3 = 1 - x'Fr; B2 — 0; B3 =

— 0; As 2 x'Q

~gF*’

= r>

B,=

gF- — + cc'Fr iz0. K2

(2.5-3)

A (2.5—1) differenciálegyenlet-rendszert képez, melynek általános megoldását a:

Q = Q(x, t), z = z(x, t)

függvények alakjában keressük.

(2.5-4)

84