Kontur István (szerk.): Hidrológiai számítások (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1993)

3. Hidrológiai idősorok elemzése - 3.2 Paraméterek becslése a legkisebb négyzetek elve szerint

152

3. Hidrológiai idősorok elemzése

Ez alapján y becslésére £1 és x2 alapján az alábbi lineáris formula írható fel:

vagyis :

. 56 50 5

V ~ 24 + 24 ' Xl ~ 24 ' X2’

b0 = —; bi = —; és b2 24’ 24’

_5_

24

Abban az esetben, ha 6q tényezőtől eltekintünk — mert például az adatokból előzőleg a várható értéket kivontuk —, akkor az X mátrix első, egyesekből álló oszlopát töröljük, és így a számítás menete az alábbi az új X mátrix felhasználásával:

&i és b2 becslése:

Ibi]

5 860-1 562'

665'

. .

(XX) X y 50 656-1 562

425

2 430

1

12 664

25 310 -1 495

vagyis az y becslésére xj és x2 alapján az alábbi összefüggés írható fel:

y =

25 310 1 495

12 664 Xl 12 664

• x2 = 1,195 • x\ — 0,1182 • x2

Az utóbbi esetben az X\, x2, y által kifeszített hipersík átmegy az origón, ez abban az esetben, ha az x\, x2, y változók átlagtól való eltérését vizsgáljuk, a számítás természetes következménye, különben a fizikai-tartalmi összefüggésből fakadó vagy a számítási könnyítésből adódó feltételezés.

A 60 = 0 feltételezést az esetek többségében nem célravezető eleve feltételezni, de ezzel szemben egyszerűsödik a számítás, ha &o számítását különválasztjuk.

A legkisebb négyzetek elve alapján a b paramétervektor meghatározását a

b = (X*X)-1X*y

összefüggés alapján végeztük, és a minimalizációt az e* • e skalárszorzat alapján hajtottuk végre. Ha az e\,e2,... ,ex hibatagok súlya különböző, vagy még egymással össze is függenek, akkor ez azt jelenti, hogy

var(e) = e • e* =V (3-25)

(A x A)

ahol var(e) az ei,e2,... ,eff sorozat varianciáját jelenti. Másképpen: V = a2e ■ E^v; Etv az (A x A) -es egységmátrix.

Ha var(e) 7^ ■ Ejv, akkor 6 számításának képlete:

b = (X*V-1X)-1 • X*V-1y (3-26)

ahol V pozitív definit szimmetrikus, véges nagyságú elemekkel rendelkező kovariancia mátrix.