Kontur István (szerk.): Hidrológiai számítások (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1993)

2. Hidrológiai statisztikai módszerek - 2.3 Eloszlásfüggvények

2.3 Eloszlásfüggvények

105

A (2-132) alapösszefüggésből x különböző értékeinél felírva:

x — 0 p(0) = e~A

x — 1 p(l) = e~x ■ A

z = 2 p(2) = y e-A

x = 3 p(3) = y-e_A

Mivel \ = y — ifooö = 0>05, ezt behelyettesítve, annak a valószínűsége, hogy a tízezer éves visszatérési idejű vízállás a következő 500 évben- nem fordul elő (x = 0), p(0) = e-0,05 = 95,1%- egyszer fordul elő (x — 1), p(l) = 0,05 • e-0,05 = 4, 8%

0 052- kétszer fordul elő (x = 2), p(2) = ——-e~0,05 = 0,1% stb.

A különböző A = N/T értékekre a 2-38. táblázatot adjuk meg, amelyben F(x = 0) a be nem következés valószínűségeit, F(x > 0) = 1 — F(x = 0) a bekövetkezés valószínűségeit jelenti %-ban.

2—38. táblázat. A bekövetkezés valószínűsége a Poisson eloszlás alapján

A

0,01

0,05

0,1

0,2

0,3

0,5

1,0

2,0

5,0

10,0

F(x = 0)%

99,0

95,1

90,5

81,9

74,1

60,7

36,8

13,5

5,0

0,0

F(x > 0)%

1,0

4,9

9,5

18,1

25,9

39,3

63,2

86,5

95,0

100,0

Számítsuk ki a Poisson eloszlás alkalmazásával azt a maximális időtartamot, amely alatt egy bizonyos vízépítési műtárgy építését be kell fejezni akkor, ha csupán 10%-os kockázatot kívánunk vállalni arra vonatkozólag, hogy a T = 50 éves visszatérési idejű vízállás ezen időtartam alatt bekövetkezik.

Esetünkben F(x > 0) = 10%, ezért a 2-38. táblázatból interpolálva

A = 0,11 és így N — A ■ T = 0,11 • 50 = 5,5 év

tehát a munkálatokat kb. 6 év alatt be kell fejezni.

Feltehető továbbá olyan kérdés is, hogy mi a valószínűsége pl. egy 100 éves visszatérési idejű árhullám bekövetkezésének a 6 éves időszak alatt. Ekkor A = N/T = 6/100 = 0,06 esetére a táblázatból interpolálva F(x > 0) = 5,4% értéket kapunk.

A bemutatott igen egyszerű példánál bonyolultabb esetekben, és egyéb feladatnál (pl. egységárhullám számítása, 4. fejezet) a számítást nagymértékben könnyíti a Poisson eloszlásfüggvény táblázata (2-39. táblázat).