Dégen Imre: Vízgazdálkodás I. A vízgazdálkodás közgazdasági alapjai (tankönyvkiadó, Budapest, 1972)

B) A gazdaság-matematika alkalmazása a vízgazdálkodásban - 1. Az optimális programozás közgazdasági alkalmazása a vízgazdálkodásban

Ezzel, az (1—6) és az (1—7) lineáris formulák segítségével megadtuk a programozás feltételeit. Azokat az (xb x2) értékpárokat, amelyek eleget tesznek az (1—6) és (1—7) alatt megfogalmazott követelményéknek, lehetséges megoldásoknak, illetve lehetséges programoknak nevezzük. Ezek közül kell kiválasztani azt, amelyikhez a legnagyobb tiszta hozam tartozik. A tiszta hozamot a

2xt -f- 3xL> = Z ->max (1—8)

kifejezés mutatja, amely ugyancsak lineáris kifejezés. Ezt a formulát célfüggvénynek nevezzük, amelynek a maximumát kell meghatározni az (1—6) és (1—7) feltételek figyelembevételével.

Az A erőforrásokra vonatkozó 2xi -j- 4x2 — 20 egyenletnek a szokásos ábrázolási mód mellett olyan egyenes felel meg, amely az Xi tengelyt a (10; 0), az x2 tengelyt a (0; 5) pontban metszi. A 25/a ábrán feltüntetett háromszög területén levő bármely pont eleget tesz mind az (1—6), mind az (1—7) alatti első feltételnek. A P4 ponthoz tartozó program

2-2 + 4-1 = 8

egységet igényel az A erőforrásból, amely az erőforrás 40%-os kihasználását jelenti. Hasonlóan meghatározva, a P2-es ponthoz 100%-os erőforrás- kihasználás tartozik. A többi erőforrásnak megfelelő lehetőségeket is meghatározva és egyidejűleg figyelembe véve, az összes lehetséges programot az L sokszög szemlélteti (25/b ábra).

A határpontokhoz tartozó tiszta hozamok Qi-nél 13, Q2-nél 14, Q3-nál 16 és Q4-nél 15 egység. Tehát a Q3 képviseli az optimális programot. Ez kitűnik a tiszta hozamhoz tartozó szintvonalak (párhuzamos izocél egyenesek) ábrázolásából is, ha pl. a 2xi -j- 3x2 = 6 összefüggést írjuk elő. Ennek x4 (3; 0); x2 (0; 2) metszékek felelnek meg. A 25/c ábrán a 6, 12, 18 tiszta hozamhoz tartozó szintvonalakat tüntettük fel, amelyből ugyancsak kitűnik, hogy a Q3 képviseli az optimális programot. A Q3 (2; 4) programnál az erőforrás-kihasználás a következőképpen alakul:

A erőforrás (2 • 2 -f- 4 • 4) : 20 = 100%

В erőforrás (2-2 + 2-4) : 12 = 100%

C erőforrás (4-2 -f- 0-4) : 16 — 50%.

A fenti geometriai elemzésből az következik, hogy a lineáris programozási feladat megoldását a lehetséges megoldások domború tartományának csúcsai adják, illetőleg azok között kell keresni. Hogy melyik csúcs, vagy csúcsok határozzák meg a program megoldását, az izocél vonalak irány265