Szekszárdi Vasárnap 2000 (10. évfolyam, 1-44. szám)
2000-08-13 / 28. szám
10 , SZEKSZÁRDI VASÁRNAP 2000. augusztus 27. 1800 éve megoldható geometriai probléma és egy szekszárdi nyugdíjas mérnök találkozása A Szekszárdi Vasárnap - mint azt olvasóink nyilván észrevették - nem tudományos folyóirat. Itt, ezen az oldalon most mégis egy geometriai probléma megoldását olvashatják azok, akik érdeklődnek e tudomány iránt. Az ok nagyon egyszerű, ez a tudományos megoldás itt született Szekszárdon, kiötlője Sipos Á. Rudolf nyugdíjas mérnök úr, aki engedve unszolásomnak, most megismerteti az olvasóval az N oldalú szabályos sokszög szerkesztésének általa kidolgozott módszerét. A mérnök úr szerint a számítógépek korában nem nagy művészet szabályos sokszöget szerkeszteni, de az ö módszerével talán - végigkísérve a gondolatmenetet - megtanulhatunk valamit, amire a gépek soha nem tanítanak meg bennünket: gondolkodni, (a szerk.) ,N oldalú szabályos sokszög szerkesztése. P (olvasd: rhó) módszer"... ...című dolgozat alapján ismertetem az eljárást. Az N (értsd: tetszőleges) oldalszámú szabályos sokszög oldalhosszának megállapítása nem jelent problémát. A feladat: a körkerület N részre osztása és az így nyert ívhez tartozó húr megrajzolása. Ismert, hogy a húr hossza, h^=2 rsin (180/N)°. így gyorsan, több tizedes pontosságú eredményhez juthatunk. Tisztán szerkesztéses eljárás azonban e tárgyban nem ismeretes, jóllehet az előfeltétel legalább 1800 éve biztosított. Az alexandriai Ptolemaiosz (150 körül élt) a 7t számot már megfelelő pontossággal ismerte, úgyszintén a használható szerkesztési technikát is, (körív felezéses osztása, párhuzamos szelők tétele). Dolgozatomban ezt az eljárást szándékoztam kimunkálni. A megoldási koncepciót ezúton csak vázlatosan ismertethetem: A rhó sugár, az ismert r sugár, kerületen túlvezetett, meghosszabbított alakja. A meghosszabbítás mértéke azonos a kerületi metszéspont 0 ponttól (íven) mért távolságával. Bizonyos körívekhez tartozó P sugarak könnyen szerkeszthetők. Ezek végpontjait összekötve olyan görbét kapunk, melynek minden pontja konjugált viszonyban áll a körkerület azon pontjával, melyet ugyanaz a P sugár metsz ki. Ennek a P sugárnak hossza könnyen meghatározható, így a konjugált pontok is. A kerületi konjugált pontot a kerületi 0 kezdőponttal összekötő egyenes hossza az N oldalú szabályos sokszög oldalhosszával egyenlő. A dolgozat több kidolgozott példával és egy analitikus geometriai alapon végzett számítással igazolja az elmélet helyességét. A szerkesztésmód egy változata az itt használt SZIMPLEX eljárás. Ez alkalmasan megválasztott r érték és szerkesztési segéd osztószám használatával, valamint a P sugár végpontokat öszszekötő görbe egyenessel való helyettesítésével nagymértékben leegyszerűsíti és gyorsítja a szerkesztést. Hangsúlyozni kívánom: munkám kizárólagos célja annak bizonyítása, hogy az N oldalú sokszögoldal szerkesztése lehetséges, elméletileg megoldott. Praktice nem versenyképes a számításos eljárással, nem azt kívánja helyettesíteni. Még kevésbé kíván ellentmondani Gauss elméleti megállapításának, ahhoz nem mérhető. A szerkesztéses megoldás kimunkálása azonban eredmény, hiánypótlás, adósságtörlesztés. Gondolkodásra-serkentő haszna is remélhető (talán), egy.es tanuló ifjak esetében. Dolgozatommal így kívánok a millenniumi ünnephez hozzájárulni. Az ifjaknak pedig szeretném elmondani: ez a módszer nagyon pontos, lelkiismeretes munkát kíván. Számos tényező van, mely a szerkesztést befolyásolja, korlátozza vagy éppen meghiúsítja. Például: az ábra mérete, N nagysága, az emberi tényező, a rajzeszközök minősége stb. Minden feladat kihívás (lehet), mely sikerrel, vagy kudarccal járhat. De megoldható. A számításos módszer kétségtelenül kényelmesebb, de sikerélményt nem ad. Mást is mondok. Tegyük fel, nekiülsz és az ismertetett példa alapján szerkesztesz - mondjuk - szabályos tizenhét szöget. Biztos lehetsz abban, hogy egyik, vagy talán az első vagy széles e világon, aki ezt a szerkesztést elvégezted. Kis hazánkban, Szekszárdon, a millennium évében... Hát még ha hetvenhét oldalú sokszöget szerkesztesz! Pedig azt is megteheted, némi töprengéssel és leleménnyel. Próbálkozásaidra talán még Ptolemaiosz is mormogna valami elismerést... Hát még én! Szerkesztési sorrend Megrajzoljuk az CÚ kozéppontú, r =7,64 cm sugarú kör első negyedét, ugyanazon körzőnyílással a 0 és Q pontokból rövid ívet húzva, harmadoljuk a QO ívet, majd 45°-os vonalzóval felezzük azt. A körkerületet 48, vagyis a QO negyedkörivet 12 részre kell osztanunk. A szerkesztett osztáspontokat a 4, 6, 8 sorszámmal látjuk el. N=7 oldalú sokszög esetében, ebben a jelölés rendszerben, N sorszáma: 48/7 = 6,86, tehát a 6 és 7 sorszám között van, a 7 sorszámú pont pedig a 6 és 8 közötti iv felezőjében. A 7 és 6 sorszámon keresztül rhó sugarat vezetünk. A hosszabbítás kerülettől mért hossza a sorszámmal azonos számú cm. P7 és P6 végpontjait egyenessel kötjük össze. Körzőnyílásba vesszük a PN = r + 48/N = 7,64 + 6,86 = 14,5 cm hosszat, co pontból húzott körívvel metszük a rhó sugarak végpontjait összekötő egyenest. A metszéspont: N. Az co N. egyenes a körkerületet N pontban metszi. Az NO húr hossza a szabályos hétszög oldalhosszával azonos! A számítható, pontos érték: h N =2-7,64 sin(l80/7)° = 6,63cm Az a,^ érték a szerkesztési ábráról mérhető le. A szerkesztés pontosságát a megszerkesztett sokszög, vagy az a^j / h N hányados mutatja.
