Evangélikus egyházkerület főtanodája, Sopron, 1855

■"V

7

mellyek minden esetekben valódi értékűek, a’ gyök alatt lévő menyiség soka sem vehetvén fel nemleges jelet.

Ha A = B és egyszersmind C — 0 úgy w végtelen sok értékei lehetségesek, mert akkor a’ (14)

0

képletből tgw = ~q~

Rendesen azomban két értékét fogjuk nyerni tgwnek jelöljük ezeket tgw, és tg w2 melly mindegyik egy w értékének fog megfelelni. Legyenek ezek w, és w2, a’ mivel azt jelöljük, hogy mindenkor két tő rendszere lehethéges az egyközü ivhuroknak, vagy más szóval, mivel minden rendszernek egy átmérő felel meg, a’ görbékben két fő átmérő van mindenkor.

Ezen fő irányok ha azok, OD és OD' által jelöltetnek egymással egy- szögletet fognak képezni, melly

DÓD' = D'OX - DOX = w2 — w,

. . , s tg w2 — tg

es tg(w2 — w,)= i ^tgw, tgw2 .........................(15)

Vi

ssza tekintvén a (13) alatt lévő egyenletre, mellynek tisztán ösmert tagjában az ellentett jellel vett gyökök szorzata fordul elő, abból világosan

tgw, tgw2 = — 1

következik, mi zérusra hozatván: tgw, tgw2 -j- 1 =0

adand, mi az előbbi egyenletbe helyettesítve, azt

tg — tg w,

tg (w2 — w.) = —Q

formára hozza. Tehát tg (\v2 — w,) = cjO lóvén, w2 — w = 90° fok vagy szóval a’ két lő *) átmérő függő-leges lessz.

Bírnak e’ a’ másodrendű vonalok középponttal?

A’ középpontnak egyenletei, mint az előbbiekből már tudjuk

A£ + Gyt — D = o és C£ -t- E = 0.........................................(16)

és ezekből a’ két öszrendező £, meghatározható, kiküszöbölés vagy öszvehasonlítás mondja szerint, és lessz:

CE - BD CD — AE

£ = AB — C2, *1 = AB — C2..................................................(17)

A középpont ezen egyenletei ellent is mondhatnak egymásnak; Azon esetben midőn A = B — C — 1, továbbá D = — 1, E = — 2, melly esetben AB — C2 = 0, lessz ^ — — %, v\ — -|- l0, az elsőnek érteke tagadó és végtelen, az értéke pedig állító és végtelen, jeléül annak, hogy ezen egyenleteket véges értékek által nem valósíthatni. Illy esetekben létezhet ugyan egy középpont, de az a’ végetlen távolságba van helyezve;. Mint ez valóban a’ hajtaléknál előfordul.

Ezen egyenletek megszűntek a’ középpont rendezőit meghatározni, ha mind a’ két £ és ^ értékeit képviselő törtek számolói és nevezői semmisülnek, mi akkor történik, ha A = B — C = 1, és D — E = — 1, mert ezen értékek helyettezése a’ (17) egyenletekben, azokat £ — ° 0 és ^ — ° 0 változtatja el, és a’ (16) alatt lévő két egyenletet egy első rendűvé olvasztja öszve, ’s ez lessz: £ -j- v; — 1 — 0,

és ez egy elsőrendű egyenlet £ közt, mellynek £, végetlen sok értékeinél tehetni eleget. Mi más szóval anyit tesz, hogy ezen esetben végtelen sok középpont létez, de azok mint egy egyenes vonalon feküsznek.

Mint kivételes esetet lehetne még azt is lelhozni, melyben A=:B = C = D = E= 0, de minthogy ezen esetben szükségkép K — 0, akkor az egyenlet maga is elenyész, ezen eset ide nem tartozik.

Két esetet lehet csak képzelni, vagy t. i. végtelen sok középpont van, vagy csak egy. Illy pontok léte pedig oly vonaloknak léteiét teszi fel, mellyek a’ másodrendű vonalokat két részarányos részre osztják.

Az itt tárgyalt kérdés a’ másodrendű vonaloknál mindenkor létező főátmérők számáról a’ következő módon is megfejthető:

A’ (9) alatt lévő egyenlet, a’ fő átmérőnek képviseli egyenletét, melly ha az X metszékek tengelyével 4/ szögletet képez, lessz tg. -4 — — A Cos w C sin w és tg >4 = — Ctg w, tehát Cos w = A Cos w -|- C sin w,

C Cos w + B sin w sin w C Cos w -f- B sin w