Pénzes István (szerk.): Műszaki nagyjaink 6. Matematikusok, az oktatás, a gépészet és a villamos vontatás alkotói, kiváló lisztvegyészek (Budapest, 1986)

Dr. Szénássy Barna: Bolyai Farkas

nem kifejezetten geometriai. A nem minden mesterkéltség nélkül ilyen általánosan értelmezett aritmetika és geometria új módszerbeli elgondolásokhoz vezet. így például maga az a tény is jelentős, hogy mindkét tudományágat (tehát az aritmetikát is) iparkodott axiomatikusán fölépíteni. Az aritmetika általa fölsorolt axiómái azonban még távolállnak a Peano-féle (csak a múlt század végén kikristályosodott) axiómarendszertől, már csak azért is, mert a Bolyai Farkas-féle aritmetika összehasonlíthatatlanul átfogóbb, mint a Peano-féle. Rendszerében az aritmetika axiómái a filozófiában is szereplő logikai elvek. Maga az idtan elnevezés azzal magyarázandó, hogy az időből (tempus), mint a mindkét irányban végtelen és folytonos számegyenes reprezentánsából elvonatkoztatás révén önként kínálkozó olyan fogalmakat sikerült definiálnia, amelyek viszonylag könnyen következnek az időfolyamat néhány tapasztalati tényéből. Ilyen például a kontinuumnak az idő fogalma révén adott alább ismertetendő értelmezése.

Közbevetőleg megemlítendő, hogy a kontinuum ma szokásos definíciójában Weierstrass, Cantor, Dedekind és mások gondolatai játszottak szerepet. A ma elfogadott meghatározás szerint a kontinuum olyan metrikus tér, amely kompakt és összefüggő. Bolyai Farkas így fogalmaz:

,,Ha a részek vizsgálatánál olyan (zárt egész) A-t találunk, hogy ennek bármily alkotórésze is legyen A’, ennek valamije közös azzal a (zárttá tett) B-vel, amely A’-en kívül ugyancsak A-hoz tartozik: akkor az ilyen A-t kontinuumnabk nevezzük. Ilyen például a tér, az idő, az egyenes vonal, a felület”. ([II] 1. k. 24. o.)

A nehézkes fogalmazás ellenére észre kell vennünk a Bolyai-féle definíció lényegét: azt ti. hogy kontinuumról akkor beszélhetünk, ha az egész nem esik szét egymástól elválasztott részekre. A halmazelméleti precizitás jóval későbbi eredetű értelmezésének nem tesz ugyan pontosan eleget Bolyai Farkas definíciója, de hogy elgondolása majdnem megfelel mai ismereteinknek, azt a kontinuumra föntebb említett példái is bizonyítják. Ezekkel kapcsolatban csupán azt kell megemlítenünk, hogy például az egyenes vonal és a felület esetében ő implicite nyilván gondolt a szükséges megszorításokra is.

Sok filozófiai töprengés után — először pontatlanul fogalmazva — eljutott Bolyai Farkas a szuprémum fogalmához is, ugyancsak az időt véve meggondolása alapjaként.

,,Ha a folytonos T időtartam minden pontjában A fennáll, és valamikor a t időpontban, amely a T után következik A már nem áll fenn: akkor a végtelenbe növekedő T elejétől számítva van oly p, mely az utolsó azok között az időpontok között, amelyek mindegyikéről elmondható, hogy közte és a T eleje között A mindig fennáll: e p-ben vagy utoljára áll fenn A, vagy legelőször áll fenn nem A ... Ez az alapja a határ fogalmának és sok más dologban is kisegít.” ([II] 1. k. 20. o.)

E definíció megértéséhez tudnunk kell, hogy az ,,A-fennáll” kifejezés azt jelenti, hogy egy halmaz egy vagy több eleme eleget tesz valamilyen A köve34