Szőke Béla (szerk.): Műszaki nagyjaink 3. Fizikus és matematikus alkotó oktatók, főként a mérnökképzés tanárai sorából (Budapest, 1983)
Sztachó Lajos: Kürschák József
írtak közül pedig a szabályos a minimális területű; továbbá bebizonyította, hogy az oldalszám kétszerezésekor a beírt szabályos sokszögek területe monoton nő, a körülírtaké pedig monoton csökken. Steiner ezen extremumok létezését hallgatólagosan feltételezte. J. Perron egy szellemes ellenpélda kapcsán mutatott rá, hogy végtelen halmaz esetén nem szabad feltételezni a szélsőérték létezését, hanem az exitenciát is bizonyítani kell. íme: Tekintsük a természetes számok halmazát és rendeljük hozzá mindegyik számhoz a négyzetét. Ha e hozzárendelésnél feltételeznék azt, hogy létezik legnagyobb elem, akkor 1 a legnagyobb természetes szám volna, hiszen minden természetes szám négyzete legalább akkora, mint a szám és e hozzárendelésnél egyenlőség csak 12=1 esetén következik be. Alapvető logikai hiba tehát, hogy Steiner az extrémum létezését elfogadja. Kürschák dolgozatában a szélsőértékek létezését nem feltételezi, hanem szigorúan bizonyítja és Kürschák mutatja meg először, hogy a beírt szabályos sokszögek területe a csúcspontok bármely szaporításával monoton nő, a körülírtaké'pedig monoton csökken. Ez a tény pedig a körmérés szigorú tárgyalásának alapja — amint azt Rados Gusztáv megállapítja. (1) Jogosan állapíthatjuk tehát meg, hogy Kürschák első tudományos dolgozatával egy sok ezer éves útvesztőben találta meg az egyedül helyes utat* A körmérés történetében sok olyan kiemelkedő matematikus nevével találkozunk (Archimedes, Lambert, Legendre, Hermite), akiket joggal számíthatunk a modern matematika legnagyobbjai közé. A matematikának alig volt népszerűbb problémája, mint a „quadratura cireuli”. ,,A lehetséges és lehetetlen egv-egy határkövének kijelölése a tudomány legnevezetesebb haladásaival szokott karöltve járni” — írja Kürschák a bevezető közleményben [9]. A kör négyszögesítésének feladata azt jelenti, hogy lehetséges-e körzővel és vonalzóval olyan négyzetet szerkeszteni, amelynek a területe egyenlő egy adott sugarú körével — feltéve, hogy ezeket az eszközöket csak a következő szerkesztésekre használjuk véges sok lépésben: 1. Két megadott ponton át egyenest húzni. 2. Adott középpont körül adott sugarú kört rajzolni. 3. Két egyenesnek, vagy egyenes és kör metszését meghatározni. Ha ezeket a szerkesztéseket analitikus geometriai számításokkal pótoljuk, a négy alapműveleten kívül csakis négyzetgyökvonásokat kell végeznünk. Valamely a mérőszámú vonaldarab megszerkeszthetőségének szükséges feltétele, hogy adott egységből kiindulva a egy olyan 1, ax, a2, • • ■ a^, a véges számsorozat utolsó eleme legyen, melyben mindegyik elem olyan első vagy másodfokú egyenlet gyöke, amelynek együtthatói az előző elemekből a négy alapművelettel nyerhetők. A kör négvzetesítéséhez ilyen számsorozatot kellene találnunk: azonban beigazolódott, hogy ilyen számsorozat felírása lehetetlen. 260
