Szőke Béla (szerk.): Műszaki nagyjaink 3. Fizikus és matematikus alkotó oktatók, főként a mérnökképzés tanárai sorából (Budapest, 1983)
Sztachó Lajos: Kürschák József
Jelöljük a K kör középpontját és a Bolyai-síknak általa ábrázolt pontját egyaránt zérussal. E pont körül rajzolt koncentrikus körökkel és a K kör átmérőivel hálózatot készítettünk. A megrajzolt szomszédos koncentrikus körök az átmérőkből a Bolyai-sík egységnyi hosszúságú szakaszait metíszik ki. Jól követhető térképünkön a Bolyai-egyenesek metszése és elpattanása. A Bolyai-sík két egyenese csak akkor metszi egymást, ha képeik a K körlemez belsejében metszik egymást. Ha azonban a képek metszéspontja a K kör kerületén van, elpattanó egyenesekkel van dolgunk. Azok a körök, amelyek teljesen a K körlemez belsejébe esnek, a Bolyai-sík köreit ábrázolják, azonban a Bolyai-síkban felvett kör középpontjának O' képe nem esik egybe a képkör 0l középpontjával, hanem a térkép széle felé eltolódik. Tekintsünk egy olyan p kört, amely a K kört belülről érinti! Ez már nem valamelyik Bolyai-síkbeli körnek a képe, hanem a Bolyai-sík paraciklusn&k nevezett görbevonalát ábrázolja. A paraciklus a körvonal határesete, midőn a kör középpontja a végtelenbe távolodik. (4. ábra.) Ezen az ábránkon a K kört derékszögben metsző e körív a Bolyai-sík egyenesét ábrázolja, a h körív azonban — amely K-t ferdeszögben metszi — nyilvánvalóan a Bolyai-sík valamely görbevonalának a képe. A h vonalat hiperciklusn&k nevezzük, hinnék a görbének az az érdekes tulajdonsága, hogy bárhol választunk ki rajta egy pontot, ennek e'-től való távolsága állandó. (Ismeretes viszont, hogy — a Bolyai-geometria nyelvén szólva — az euklidesi sík „hiperciklusa” egyenes.) A Bolyai-síkban három egyenes által alkotott háromszögben a szögek összege mindig kisebb, mint 180°, és ez a hiány a háromszög területével monoton nő; (határ esetben a hiány 180°, a szögek összege pedig zérus is lehet). E tényből következik, hogy két Bolyai-síkbeli háromszög csak úgy lehet hasonló, ha egyszersmind egybevágó is. A gömb határhelyzete, midőn sugara minden határon túl nő, a Bolyai-geometriában görbe felület, a paraciklus forgatásával keletkező paraszféra; a hiperciklus forgatásával keletkező görbe felület neve pedig hiperszféra. Bolyai úgy alkotta meg trigonometriáját, hogy gondolatban elkészítette a paraszférán az euklidesi sík térképét, és rajta az euklidesi egyeneseket paraciklusokkal ábrázolta. Erre a térképre változatlanul érvényesek a gömbi trigonometria tételei, azonban a háromszögek oldalait most paraciklusok ívei alkotják. Bolyai János legfényesebb fölfedezésének azt a tételt tekintette, mely az elpattanás u szögének a hozzátartozó x távolságtól való függését fejezi ki. Ez a képlet a L eotg ~ —ek, ° 2 ahol k egy tetszőleges nagyra választható állandó. A k minden rögzített értéké-17 Műszaki nagyjaink III. 257
