Múzsák - Múzeumi Magazin 1982 (Budapest, 1982)
1982 / 1. szám
TT=2 m-3 TTT TTT TTT=7 YYY=8 T TT A 10-et két ilyen ékből összetett „kapocs" alakú jellel írták. A számok tehát 10-től 59-ig: <=IO 0=11 <YY=i2 «=20 ▼▼▼ m=9 yyy YYY YYY=59 YYY Most jön a meglepetés: a 60 jele nem 6 darab tízes kapocs, hanem ugyanaz a jel, amellyel az 1-et írták. A következő számot, a 61 -et két ilyen, egymástól kissé távolabbi jel írta le. Az ékjei értéke tehát függ a helyétől: helyértéke van. A balról jobbra számított első helyen álló ék 60-at, az utána következő pedig 1-et jelent. Hogyan írták le például a 92-t? Két csoportot alkottak belőle: az elsőbe összefogtak 60 egységet, a másodikban maradt 32 egység. T «T <T = 60+32=92 Az egymást követő helyértékek között tehát 60 a váltószám. Jobbról balra számítva minden helyérték hat- vanszor nagyobb, mint a közvetlenül előtte álló. Az így sorakozó helyértékek tehát: egyesek (1), hatvanasok (60), háromezerhatszázasok (602), kétszáztizenhatezresek (603), stb. A rendszer ugyanaz, mint a mi számírásunkban. Például a 3333 leírásakor a „3” jelnek változik az értéke a jel helye szerint. A ma használatos helyértékek: egyesek (1), tízesek (10), százasok (102), ezresek (103) stb. A mi számrendszerünk is helyértékes, de a szomszédos helyértékek közötti váltószám nem 60, hanem 10. A helyértékes tízes számrendszerben számolunk, Mezopotámiában pedig a helyértékes hatvanas számrendszerben számoltak. Ha a babiloni olvasó meglátta az ék alakú jelet, vajon honnan tudhatta, hogy az 1-et vagy 60-at, esetleg 3600-at jelent? Mi, ha 10-et akarunk írni, akkor az 1 jele után írunk egy 0-t, amivel jelöltük, hogy az 1 most 10-et ér. Az üres helyértéket, az egyesek helyét kitöltöttük a 0 jellel. Az ókori Mezopotámiában azonban nem ismerték a nullát. Ez bizony nehézséget okozott a számok olvasásában, amit csupán a szöveg könnyített meg azzal, hogy mindig megnevezte azt a dolgot, amire a szám vonatkozott. Ha például azt írnám, hogy megettem m gombócot, akkor nem valószínű, hogy azt valaki VV 5X60, azaz 300 gombóc- T T nak fogja olvasni. Ez a példa azonban bizonyára és jogosan nem teljesen megnyugtató. Egy későbbi időszakban használták ugyan az üres helyérték kitöltésére a két egymás alá írt kapocs jelet, de az egyesek helyét még ekkor sem jelölték. így a nulla hiánya valóban mindvégig félreértések oka lehetett az óbabiloni számírásban. A helyértékes, hatvanas számrendszer e hiányosságát csak a görög Ptolemaiosz Klaudiosz (150 körül) pótolta azzal, hogy az üres helyértékre mindig odaírta a görög „semmi" szó kezdőbetűjét, az omikront (O), a későbbi nulla jelet. Talán meghökkentő, hogy a jóval később élt nagy csillagász használta az óbabiloni helyértékes hatvanas számrendszert. Ennek az a magyarázata, hogy a babiloni csillagászat igen fejlett volt. Mezopotámiában nagyon korán megkezdték a csillagos ég figyelését. A megfigyeléseket rögzítő táblázatok hatvanas számrendszerét a későbbi csillagászoknak is „illett" ismerni, ha építeni szándékoztak a babiloni eredményekre. Biztosan felötlik a kérdés, hogy miért éppen a hatvanas számrendszer alakult ki Mezopotámiában? Ennek valószínű magyarázata az, hogy Mezopotámia első államalapító népe a sumér volt. Tőlük azonban a hatalmat az i. e. 2300 táján átvették a nagyobb katonai erőt képviselő, déli, sémi eredetű akkádok. Az első egységes mezopotámiai államot éppen az első akkád király, I. Sarrukinu (Szargon) hozta létre. A két nép azonban nem volt egymással kimondottan ellenséges viszonyban. Ez megkönnyítette azt is, hogy az akkádok átvegyék a sumér kultúrával együtt az akkor már ékjelekké egyszerűsödött sumér képírást is. Egy és ugyanazon írásjel tehát ugyanazt a fogalmat jelentette a sumérnak is, az akkádnak is, bár különböző nyelven. Egymással beszélni ugyan nem tudtak, de írásban érintkezni igen. Ahogyan kialakult a közös sumér— akkád írás, ugyanúgy fejlődött ki a közös pénz- és súlymértékrendszer is. Történetesen, amikor az akkádok uralomra jutottak, akkorra már használatban volt a sumérok „mina” nevű súlymértékegysége (körülbelül fél kp), de megvolt az akkádok súlyegysége is, a „sékel". Ez azonban hat- vanszor kisebb a minánál, tehát: 1 mina = 60 sékel. Használatban maradt mind a kettő. E két mértékegység egyszersmind pénzegységül is szolgált. A mindennapi életben tehát értelemszerűen mondták pl. a 85 sékel helyett, hogy 1 mina és 25 sékel, tehát a 85-ből 60 sékelt összefogtak 1 minává. A mi szóhasználatunkban is sűrűn előfordul, hogy pl. 1 Ft 50 f helyett csak annyit mondunk, hogy egy-ötven. Ugyanígy az 1 mina 25 sékel helyett is sokszor mondhatták Babilonban, hogy egy- huszonöt. A gazdasági élet további fejlődése később nagyobb súly-, illetve pénzegységet is megkívánt. Ekkor bevezették a tálentumot, amelyet a mina—sékel viszonynak megfelelően 60 minának szabtak meg. Tehát: 1 tálentum = 60 mina = 602 sékel. A helyértékes, hatvanas számrendszer tehát Mezopotámiában i. e. 2300 táján alakulhatott ki a pénz-, illetve a súlymértékrendszer hatására. A hatvanas számrendszerben nehezebb számolni, mint a mai tízesben. Az egyszeregyet például nem 100-ig, hanem 3600-ig kellene tudni. Mezopotámiában azonban a számolási nehézséget ügyes táblázatok könnyítették meg. Használtak szorzó, re- ciprok, négyzet, gyökvonás és más táblázatokat, szellemes számolási módszereket. New Yorkban, a Columbia Egyetem Plimpton könyvtárában őrzik azt az óbabiloniai táblázatot, amelyen „gépiesen termelt” pitagoraszi számhármasok találhatók. Gyakorlati számítási feladataik között szerepelnek olyanok, amelyek egyenletmegoldásra vezetnek. Ezek között másodfokú egyenletrendszer megoldásnak megfelelőek is akadnak. Az újabb leletek szerint az egyszerű terület- és térfogatszámításon kívül ismerték a hasonlóság fogalmát, és persze a Pi- tagorasz-tételt. Vannak arra utaló hagyományok, hogy az i. e. VI. századi Püthagorasz is megfordult Babilonban, ahol sok filozófiai, matematikai és csillagászati tudás birtokába jutott. Mezopotámia matematikája, a helyértékes hatvanas számrendszer megalkotása a maga idejében a számolási technikában akkora forradalmat okozott, mint később a helyi értékes tízes számrendszer vagy a logaritmus, majd a mechanikus, illetve ma az elektronikus számítógépek feltalálása. SAIN MÁRTON
