A Pécsi Magyar Királyi Középiskolai Tanárképzőintézeti Gróf Széchenyi István Gyakorló-Reáliskola 1927-28. Tanévi Értesítője

A Ptolemaeus-féle tétel egy alkalmazása

A Ptolemaeus-féle tétel egy alkalmazása.

(A VI., VII., VIII. osztályú ifjúságunknak.)

Középiskolai geometriai tankönyveinkben található tételek között vannak olyanok, melyekről tanulóink sokszor nem is sejtik — hacsak a tanár nem utal rá, — hogy egy már előttük ismeretes tételnek más alakban való megjelenései.

Ezek között egyik legismertebb tétel

sin2 cc -j- cos2 a = 1

ami nem más, mint a Pythagoras-féle tételnek trigonometrikus alakja. Ez az összefüggés egy speciális derékszögű háromszögre alkalmazott Pythagoras tétel, melyben az a szöggel szemben fekvő befogó sin a, mellette fekvő befogóé cos a, s az átfogóé az egység.

Ismeretes az a tétel is, hogyha egy háromszög egyik oldala c, ez oldallal szemben fekvő szögé y, a háromszög körülírt kör sugara r, akkor

c — 2 r. sin y

Ha ha 2 r — 1-nek választjuk

c = sin y

Tekintettel arra, hogy egy körben adott húr fölött álló kerületi szögek egyenlők, a következő tételt mondhatjuk ki: Egy a szög, melynek csúcsa az egységnyi átmérőjű kör kerületén fekszik, a körből egy oly ívet metsz ki, amelyhez tartozó húrnak a hossza sin a.

A következőkben egy másik tételre akarok rámutatni, amely két szög összegének ill. különbségének sinus és cosinus értékeihez meglepő egyszerűen és gyorsan vezet. E tétel a Ptolemaeus tétel: Bármely körhúrnégyszögben az átlók szorzata egyenlő a szemben fekvő oldalak szorzatainak összegével. Ha egy ilyen húrnégyszögben az egyik átló vagy valamelyik oldal hosszát az egységnek választjuk, a Ptolemaeus tétel alkalmazásával a fenntemlített sinus ill. cosinus függvény értékek kifejezéseit nyerjük.

Rajzoljuk fel két szög összegét: a -j- ß-t s e két szög közös szárán válasszuk egy kör 0 középpontját úgy, hogy a körülötte leírt és a szögek közös 5 csúcsán át vezetett kör átmérője 1 legyen. Jelölje C a közös szárral, A az a, B a A szög másik szárával való metszéspontokat, akkor az SC = 1 átmérő lévén, SA = cos a, SB = cos fi, AC = sin a, BC==sin fi és AB = sin (a fi), s így a Ptolemaeus-féle tétel alkalmazásával nyerjük:

1. sin (a -\- fi) — sin «. cos fi -j- cos a. sin fi,

az ismert tételt, mely két szög összegének sinusát fejezi ki.

Rajzoljuk két szög különbségét: «—fi-t (a > fi) s a két szög közös szálán válaszszuk meg az 0 középpontot úgy mint előbb, hogy a körülötte leírt kör a közös S csúcson menjen át s átmérője az egység legyen. Tartsuk meg az előbbi jelöléseket a szögek szárain: C a közös szár, A az a, B a fi szög