A Pécsi Állami Főreáliskola Értesítője az 1905-1906. tanévről

— 19 —

Tárgyaltuk három szám összegét; most tárgyaljuk akárhány szám összegét. A fejezet elején eszközölt értelmezés alapján

3l -J- 32 -j- 3s -(- . . . -j- —l—j— 3n = (3l -f- 32 -j- 33 -j- an-l) -j- an 5).

A definiáló egyenlet jobb oldala a zárójel elhagyására vonatkozó fentebbi megállapodásunkkal egybehangzásban van, mert ha n—1 szám összegét n—2 összegének s az n—1-iknek összegére visszavezetjük s így tovább, a 4) egyenlethez jutunk. Mutassuk ki, hogy az 5) összeg az összeadandók sorrendjétől független. A bizonyítás a teljes indukció módszerével eszközölhető. Tegyük fel, hogy az összeg n összeadandó esetén független az összeadandók sorrendjétől; kimutatjuk, hogy n-j-1 összeadandó esetén is független, mert

ai-j— a2-j- ... -j- a„ + 3n | i — (ai —j—as . a„ ) -f- an i i,

de a zárójelben levő tagok tetszőlegesen elrendezhetők lévén, a tagokat úgy lehet rendezni, hogy an helyébe valamelyik tetszőleges tag, pl. a-, kerüljön :

(ai-j- 32—j— ... -j- aj ) -j- an_i_i = |ai—j— a2-j- . . .j -j- a\ -f- an | i

= (ai—J— 32-[- . . .) -j- a„ ; i j- 3i = [ ai - 32—|— . . . -j- a„ i j -j- 3i,

de a I |-ben n szám összege lévén, a tagokat tetszőlegesen lehet rendezni ; mivel azonfelül a; is tetszőleges tag: a teljes összeg tetszőlegesen rendezhető. Ha tehát a tételt n számú tag esetében igaznak vesszük, n-j-l esetén is igaznak bizonyúl ; mivel három tag esetében igaz, négy esetében is igaz s így tovább, szóval minden esetben érvényes.

Mutassuk még ki az associativ elv általános érvényességét. Valamely megadott elrendezésben a tagokból kisebb részletösszegeket associálhatunk s ezeket összeadván, az eredmény ugyanaz, mint ezen associatio nélkül az 5) egyenletben nyert módszerrel. Ha ugyanis a tagokat így adnók össze :

(ai-f- a2—(— ... —|— au ) —J— (ak_j_i +...-{- ai ) -j-... , ezen összeget így is írhatnók:

(ai+ a24~ ak ) -jr [ ak_j_i -j- (ak„L2 —J— ... —j— ai )] —|— ... =

(ai-|- a2-j- ak -j- ak_|_i) -j- (ak_j_2 —... —(- ai

s ezen eljárás ismételt alkalmazása végre az 5)-ben foglalt alakhoz vezet:

jl(ai4~a2) “I- • • - “F an—i] -f- a„ j = ai-j-a2 -j- . . . -j- an_i -j- an.

Kimondhatjuk tehát, hogy akárhány szám összegét egészen tetszőleges elrendezésben, tetszőleges számú tag részletösszeggé egyesítésével s

ezen részletösszegek összegezésével képezhetjük. Az összeadás gyakorlati végrehajtása alkalmával nem a definiáló 1) egyenletet, hanem a

commutatio és associatio tételét használjuk, mi által az összeg kiszámítását kisebb összegek kiszámítására, tehát egyszerűbb feladatra vezetjük vissza.

Az eddig elmondottak még egy hézag betöltését követelik. Az összeadás commutativ és associativ tulajdonságának kimutatása alkalmával felhasznál2*