A Pécsi Állami Főreáliskola Értesítője az 1905-1906. tanévről

- 16 —

vagyis a és b összegéhez c-t adunk, vagy a-hoz adjuk b és c összegét. Ha ezen két kifejezésben a három betű szerepét felcseréljük, ami hatfélekép lehetséges, összesen tizenkétféle alakhoz jutunk. Ki fogjuk mutatni, hogy ezen tizenkétféle eljárás ugyanazon számhoz vezet. Ez az összeadást értelmező kijelentésekből nem tűnik ki ; ezt ki kell hoznunk. Ellenben a meny- nyiségek körében azonnal látható, mert ha sokaságokat rakunk össze s azután az együvé került elemeket megszámláljuk, a szám, amihez a megszámlálás után jutunk, ugyanaz, bármilyen sorrendben is raktuk össze a sokaságokat.

Hogy e tételt a mennyiségektől függetlenül csupán a számsorral kimutathassuk, be fogjuk bizonyítani az előbb tárgyalt eljáráshoz hasonló módon az összeadás associativ tulajdonságát, vagyis azt, hogy

(a-i-b) + c=a + (b+c) 3)

vagyis szavakkal : ha az első két szám összegéhez a harmadikat hozzáadjuk, ugyanaz a szám keletkezik, mintha az elsőhöz a második és harmadik összegét adnók hozzá. Az elnevezés onnét származik, hogy a második számnak mintegy szabadságában áll vagy az elsőhöz, vagy a harmadikhoz, társul szegődni.

A 3). egyenlet bebizonyítása a 2). bebizonyításához egészen hasonló. Először tegyük azt az észrevételt, hogy az összeg nagyobb az összeadandók bármelyikénél :

a-j-b +> a, a+b > b,

mert

a+b = (a+1) + (b—1),

ha most e képletet ismételten alkalmazzuk, láthatjuk, hogy az összeg képzése alkalmával a-tól előrehaladunk a számsorban, tehát az összeg az a-nál nagyobb. Ugyanez áll a b-re is. E szerint az összeadandók egyikétől a számsorban előrehaladván, egyszer csak eljutunk az összeghez ; ha pedig az összegtől kiindulva visszafelé haladunk a számsorban, rendre eljutunk előbb a nagyobbik azután a kisebbik összeadandóhoz Ezt a megjegyést előre bocsátva, vegyük észre, hogy az

+ a+1, (a+l)+l, . . . [(a+b)—1]—1, (a+b) —1, a+b a)

és a

c> c+l> (c+l)+l> • l(c+b)—1]—1» (c+b) — 1» c+b íO

sorozat tagjai egymásnak egyértelműen megfelelnek, mert

a+b = (a+1) + (b-1) = I (a+1) +1] + [(b-l)-l] =-------- *')

c+b = (c+1) + (b-1) = [(c+l) +1] + [(b—1) —1] = . . . . +')

amiből látható, hogy az első sorban a+1 társa, mint hozzáadandó, b—1;

(a+1) j-1 társa, mint hozzáadandó, (b—1)—1, stb; a második sorban ellenben

c+l társa ugyancsak b 1, (c+l) +1 társa szintén (b—1) —1, stb ;