Értesítvény a Pécsi Magyar Királyi Állami Főreáltanoda 1874-75-ik tanévéről

8

szegvényrendszer kezdetpontjával azonos, és melyeknek főtengelyei a szegvény- rendszer tengelyeivel összeesnek hasongyupontu, (homofocal) t. i. gyupontjaik esnek össze.

E tétel helyessége kiviláglik, ha fontolóra veszszük, hogy

P\ - (P1 -ßO = P\ - (P2 ~ß2) = P23 + (ß2—P%)

P21 - (p\—T2) = P*2 4- (y2-P22) = p\ + T2-P53 (Ph-ß2) - (p\-r) = (p22-ß2) 4- (y2 p\) - - (ßs-P23) 4- (y’-p2,)

Az eddigiekből következtethetjük, hogy

A térnek bármely pontjára nézve három, az I. rendszer egyenletei által képviselt felület létezik, melyeknek szükségképen nevezett ponton kell keresztül

menniük.

Megfordítva:

Az I. egyenletekhez tartozó adott három felillet által a térpont fekvése tökéletesen meg van határozva.

E tételeket még következőképen fejezhetjük ki.

Minden meghatározott x, y, z-nek tökéletesen meghatározott p„ p2, p3 felelnek meg, a melyeknek a fentebbi kifejtett határok közt létezniük kell.

Daczára annak, hogy ezen tétel igazsága a már megfejtettekböl világos, mégis kiváló fontossága miatt következő közvetlen bebizonyítást nem tartom fölöslegesnek.

Bebizonyítás. Ha x, y, z, valamely térpont közönséges derékszögű szegvényei, akkor az I. egyenletei adnak :

a) nézve értéket, a mely -p és GO határok közt létezik,

b) p32 nézve értéket, a mely ß2 és y'2 közt létezik,

c) p\ számára oly értéket, melynek határai 0 és ß3.

Hogy e tényt beláthassuk, vegyük tekintetbe, hogy a rendszer három egyenletei ezen

4)

— 4- y2 4- *2 —

r r—ß2 r—y2

1

közös alakra hozhatók. E kifejezésben r helyébe háromszor egymásután p\, p22, P*3 teendő, hogy az I. rendszer három egyenleteit megnyerhessük.

A 4) egyenletből következik

5) x' (r ß2) (r—y2) y-r (r—y2) + zr (r — ß2) =:

r (i—ß2) (r—y2)

A kijelölt műveleteket véghezvivén és a nyert egyenletet rendezvén, leend :

6)

I

I

rz — (ß3 -j- y2 4“xl + y2 + z3)r3 4- (ß2 Y3 4“ ß2 4* *2 y2 4- y2 Y3 4- 23 ß3) v—x- ß2 Y1 — 0