Református teológiai akadémia és gimnázium, Pápa, 1926

III. A párhuzamosok axiómájának szerepe a geometriában. Székfoglaló értekezés. Irta Moravecz Károly gimn. tanár

- 23 1. ábra. amint a perpetuum mobile lehetetlenségének felismerése létrehozta a fizika legfontosabb tételét, az energia megmaradásának elvét, vagy amint az alkimisták eredménytelen kísérletei létrehozták az elemek állandóságának hitét, épen úgy a többi, ehhez hasonló probléma is egy-egy nagy jelentőségű fölfedezésnek lehet az alapja. Azon probléma, melyet most vizsgálunk, geometriai és első pillanatra igen egyszerűnek látszik. „Bebizonyítandó, hogy ha két adott egyenest egy harmadik metsz, akkor _____ azok a metszőnek azon az oldalán találkoznak, amelyen a belső szögek összege kisebb 2 R- né/." (1. ábra.) Ezen tételnek a bizonyítását 2000 évnek legelső mathematikusai kísérelték meg Euklides utódaitól Bolyaiig. Hogy ezt megérthessük, vizsgáljuk, miben rejlik egy mathematikai bizonyítás lényege. — Minden bizonyítás egy új tételnek a világossá tétele, egy új tétel igazságának belátása azáltal, hogy ezen új tételt általunk már elfogadott, ismert tételekre vezetjük vissza. Minden bizonyításnál hivatkozunk tehát már ismert tételekre, ezek bizonyításánál ismét egyszerűbb tételekre és ha így visszafelé haladunk, eljutunk az axiomákhoz, olyan tételekhez, amelyeket már nem lehet bebizonyítani; de nem is szükséges, mint már Aristoteles is tartotta, mert épen egyszerűségük és világosságuk miatt bizonyításra nem szorúlnak. Euklides „Elemek" c. munkája

1 a geometriai fogalmak definiálása után közli azon axiómákat, amelyekre, mint közvetlenül világos sarktételekre támaszkodnak a geometriai bizonyítások. Ilyen tételek pl.: Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk, egyenlőket kapunk.

2 Az egész részeinél nagyobb.

3 Tekintsük most Euklides XI. axiómáját, mely több kiadásban, mint Euklides V. postulatuma szerepel. „Ha két adott egyenest egy harmadik metsz, akkor azok a metszőnek azon az oldalán találkoznak, melyen a belső szögek összege kisebb 2 Rnél." Ezen axiómát már Euklides utódai sem tartották közvetlenül bizonyosnak. Mit mond ugyanis ez az axióma? Nem találkozhatik a két egyenes akkor, ha az egy oldalon fekvő szögek összege 2 R. Más szavakkal: Egy egyeneshez egy rajta kivül fekvő pontból csak egy párhuzamos (végtelenben metsző) egyenes vonható. De mi áll elő akkor, ha a belső szögek összege csak igen kicsiben különbözik 2 R-től ? Bizonyára akkor igen nagy véges távolságban metszi egymást a két egyenes. Hátha ez a véges metszéspont több százmillió kilométerre van, az egyik egyenesen és ezen metszéspontról föltételezzük, hogy az egyik egyenes pontjain folytonosan távolodik. Melyik 1 L.: „Euklides elemei." Fordította Brassay Sámuel. Kiadta a M. Tud. Akadémia, 1885, 2 li. axióma. 3 IX. axióma.