Szent Benedek-rendi katolikus gimnázium, Pápa, 1882

— 4 — irányai a telszésszerinli középponllal hiró segédgörnb felületén jelöljük L ponttal, az összrendezői tengelyek irányát pedig (1)-, (2)- és (3)- vei, akkor L pontnak összrendezői cos (I) L = X, cos (2) L = Y, cos (3) L — Z leendnek, A pontnak összrendezői pedig legyenek x, y, z. Legyenek továbbá x + d x, y + d y és z -f- d z a görhe felület valamely más, A-tól végtelen kis távolságban levő A

1 pontjának összrendezői, d s pedig ezen végtelen kis távolság, inig jelölje a segédgömbnek azon pontját, mely az A A' elemnek irányát meghatározza. Lesz tehát d x = d s cos ( I ) d y = d s (2)

d z = d s cos (3) és mivel L = 90°, leend X cos (1)'- + Y cos (2) i + Z cos (3) ; s X d x -h Y d y + Z d z - 0 Ha a görbe felület egyenlete z — f (x, y) alakban van adva s ha d z — p d x h- q d y és Pdx + Qdy + dz — 0 akkor P cos (1) + 0 cos (2) + cos (3) = 0. Mivel ezen egyenletnek is épen ngy, mint a fentebbinek, a görbe felület valamennyi d s elemének irányára nézve érvényesnek kell lenni, azért könnyen belátható, hogy X, Y és Z a P-, Q- és 1 —el arányosak s mivel X' + Y' + Z

2 — 1, leend X — , Y— = V p'+q'-hl V p

s+<l

J +" ' V p'fq'rl 2. Keressük most már ki a görbe felület bármely pontjára vonatkozó görbület mértékének képletét. Jelöljük a görbe felület elemének területét d f

f-vel, ennek az X Y összrendezői síkon levő vetülete Zd

f

f; továbbá, lia d~ a segédgömb megfelelő vetületének a területe, ennek vetülete ugyanazon üsszrmdezői síkra lecnd Z d ~ Nyilvánvaló, hogy a vetületek ép oly viszonyban állanak egymáshoz mint maguk az elemek. Legyen tehát a felület végtelen kis eleme A l> C háromszög s