Kegyes tanítórendi katolikus gimnázium, Nagykároly, 1893
XLIV — A harmadrendű számtani haladvány tárgyalásánál ugyanezen eredményt nyertük. A nyert egyenletet szavakban így fejezhetjük ki: Egytől kezdve az egymásután következő számok köbének összegét kapjuk, ha veszszük az utolsó s az utána következő szám szorzatának felét, s ezt négyzetre emeljük. A négyzetszámok n első tagjának összegét is kifejthetjük a gulaszámok segélyével, u. i.: a négyzetszámok n első tagjának összegét, a háromoldalú gulaszámok (n—1) edik és n-cdik tagjainak összege adja. E tétel beigazolására felhozzuk a háromszög-számoknál talált törvényszerűséget, hogy: l2 = az első háromszög-szám 22 = „ „ és második háromszög-szám összege 32 = a második és harmadik „ ,, „ n2 = az (n—l)-edik és n-edik ,, „ „ akkor, ha először vesszük az első egyenletet, ezután az első és második összegét, ezután az első, második és harmadik összeget stb., s ha az itt fellépő háromoldalú gulaszámok tag3q i 'a2, 3%, l2 = 22 =» 3a, + l2 + 22 + 32 = 3aä + 3a3 l2 + 22 + 32 + . . . n2 = 3au-i + 3a az 3au-i és 3an értékeit helyettesitvén: (n—1) n (n —(- 1) i n(n l2-f 22-f 32 + ... +n2 l)(n + 2) 1. 2. 3 1 n (n + 1) (2n -f 1) 6 1. 2. 3 mely érték a fennebb talált értékkel mindenben egyezik. A négyzetszámok összegére talált érték igy is irható: n (n -j- 1) (n -j- n 4- 1) 6 azaz: egytől kezdve az egymásután következő számok négyzetének összegét úgy találjuk meg, hogy veszszük az utolsó számot, az utána következőt s ezek összegét, ezután ezek szorzatát hattal osztjuk.
