Református gimnázium, Miskolc, 1903

^ ùé rozására a középiskolában három módszert szokás tárgyalni, melyeket itt nagyjában vázolni kell, mivel mind a háromból bizonyos, a tudomány történelmi fejlődésére világot vető következtetések olvashatók ki. A tiszta másodfokú egyenlet megfejtése két reális vagy imaginárius értékhez vezet és ezeket az értékeket négyzetgyökkivonással nyerjük. Ha tehát a vegyes másodfokú egyenlet tiszta másodfokúvá alakitható, már akkor meg is van fejtve, mivel tisztán csak négyzetgyökkivonást kell alkalmaznunk. Ezt, a módszert tiszta négyzetre való kiegészítés módszerének nevezik. A megfejtésre vonatkozó második módszer alapgondolata szintén az, hogy a vegyes másodfokú egyenlet tiszta másodfokúra alakíttassák át. Az átalakíthatóságot azonban az előbbi módszerrel szemben egy feltétel, egy elsőfokú egyenlet teszi lehetővé, azaz a magasabb fokú egyenlet megoldását egy alacsonyabb fokú. tehát már megoldható egyenlet megfejtésére vezetjük vissza. Az itt felcsillanó gondolat arra az induktiv következtetésre csábíthat hogy a kettőnél nagyobb, akármilyen magas tokú algebrai egyenlet megfejtésére vonatkozólag ez a módszer kimeríthetlen. Hogy e bejelentett, második módszer alkalmazását konkrét alakban láthassuk, oldjuk meg a vegyes másodfokú egyenletet ezzel a módszerrel. Legyen a megfejtendő másodfokú egyenlet a.r

2 -f- bx -f c = 0 1) Ha az x = / == À y —. a felsőbb mennyiségtanban lineáris szubsztitúciónak nevezett helyet'esítést alkalmazzuk, mely az egyenlet fokát nem változtatja meg s ahol k ismét a számparameter szerepét játsza, akkor az o(r + >0

2 + + c = o alakzatot kapjuk, melyet ha a négyzetre emelés utánj'-ra rendezünk, az ay

2 -j- (2a k -J- b)y -j- aA

2-j-i^-f-c = 0 2) egyenlethez jutunk. Hogy ez az egyenlet ,y-ra nézve tiszta másodfokú, vagyis olyat! legyen, hogy megoldását pusztán gyökkivonással elvégezhessük, kell, hogy az y mint elsőfokú tag együtthatójára nézve a 2 aX + b = 0 3) elsőfokú egyenletalakban kifejezett feltétel álljon fenn. Ha 3)-ból x-t meghatározzuk és 2) be helyettesítjük, akkor az x=Á~\-y tekintetbe vételével -r-re nézve az _ — b + Vb*—4ac 2

a közismert értéket nyerjük. Ami szempontunkból a megoldás ténye másodrangú szerepet játszik és a feladat megfejtése tisztán csak a módszer lényegének bemutatása kedvéért történt. Az az eljárás, mely szerint az eredeti ismeretlent egy másikkal helyettesítettük, úgy hogy ehhez — ami látszólagos komplikációt tartalmaz — racionális módon egy parametert kapcsol-