Református gimnázium, Miskolc, 1903

— 20 — könnyen belátható, hogy a függvényvonatkozásnak másféle faja is van, ugyanis ha x=y

2, akkor x-nek minden positiv reális értékéhez (az x=o esetet kizárva) y-nak két értéke tartozik. Azon értékek összeségét, melyeket a változó egyáltalában felvehet, a független változó értelmezési tartományának és a függvény azon éri ékeit, melyeket felvesz, mikor a változó az értelmezési tartományt keresztülfutja, a függvény értékkészletének nevezzük így pl. azy=2x-j-\ függvény értékkészlete, ha az x (a zérust, is beleértve) minden pozitív egész értéket felvehet, azaz, ha a természetes egész számok sorát átfuthatj ci) ci páratlan számok összesége. A függés módját a felhozott két példában úgy tettük észrevehetővé, hogy az első esetben a független változó (a határokat is beleértve) a negativ végtelentől a pozitív végtelenig minden reális értéket felvehet, úgy, hogy a különböző értékek folytonosan következnek egymásra, míg a második esetben az x csupán természetes számokat képviselhet és így úgy ennek, mint j^-nak az egyik értékről a másikra való áttérése ugrásszerűleg történik, ami azt jelenti, hogy úgy a változó értelmezési tartománya, valamint a függvény értékkészlete megszámlálható sokaságot alkot. Dacára annak, hogy a természetes számok sora végtelen, mert sohasem tudunk eljutni egy olyan magas számhoz, melyhez még egyet hozzáadni ne lehetne, mindazáltal a tudomány a természetes számok sorát megszámlálhatónak mondja és ezen az alapon azt a definiciót állítja fel, hogy minden olyan számsokaság, melynek elemeit úgy lehet rendezni, hogy ezekhez a természetes számok sorát, mint sorszámot adjungálhatjuk, megszámlálható. A reális számok összeségükben véve nem tartoznak eme definíciónak hódoló számsokasághoz, mert felsőbb mennyiségtani uton egyszerűen mutatható ki, hogy a reális számok tartománya megszámlál hatatlan sokaságot alkot, Ha u. i. a és b bárminő közel fekvő két reális számot jelent is, mindenkor található olyan a reális szám, melyre nézve az a < a < b feltétel áll. Miként látható, mindkét esetbea végtelen-nel van dolgunk ; de az előbbi a közönséges értelemben vett végtelen távolban van, míg az utóbbi esetben a végtelenséget két véges határ zárja be. (Már az I. fejezetben említett gondolat.) Ebből a tényből kiérezhető, hogy a végtelenek között is van különbség, van rang, melyeknek fokát a felsőbb mennyiségtan megérthetően és minden illúziótól mentesen képes megállapítani. E helyen nem foglalkozhatunk a függvényeknek a tudomány színvonalának megfelelő pontosággal és részletességgel való osztályozásával ; de mint alapgondolatot előterjeszthetjük, hogy a függvényvonatkozásoknak épen a valóságban lehetséges mikéntje jellemzi azt a sokféleséget, mely a függvények óriási nagy számát létrehozza. A függvényvonatkozásnak ez a majdnem végtelen soknak látszó különfélesége olyan, melyet kimeríteni eddig nem sikerült s valószínű, hogy egyelőre nem is lehet a tudomány keretébe belefoglalni, mert amennyiben a függvény vonatkozások ama kutatásokon kívül, melyeket a matematika magukért a függvényekért teljesít, még a fizikába, a természet világába is belenyúlnak és mivel a fizika napról-napra óriási lépéseket tesz előre