Református gimnázium, Miskolc, 1903
— if — ha r = 3, akkor az állítás csakugyan igaz) és ha ezen feltevés mellett be tudjuk bizonyítani, hogy -j- 1 esetre is igaz, akkor, mivel v—n és /• — J— 1 =íi-j- 1 tehető, állításunk egész általánosságban be van bizonyítva. A feltevés tehát az, hogy (A'-j-aj) (A'-f-a 2)... (x-f a r ) szorzat tagjainak száma a beszorzás után minden összevonás nélkül = 2 r . Csatoljunk most ezen r számú tényezőből álló szorzathoz egy r 1-ik tényezőt: A'-)- a,, -f i-et. Ha az r-j- l-dik tényező első tagjával szorzunk, akkor 2 r számú tagot kapunk és ha még a r -f 1 • e 1 is szorzunk, akkor az így nyert új tagok száma szintén 2 r. Azaz az összes tagok száma = 2 r -f- 2 r 2.2 r = 2 r + '. S ezzel tételünk igazolva van. A matematikának az említetteken kívül egy másik, igen nevezetes tárgyalási és bizonyítási módszere, mely a matematikát az exakt tudományok fejedelmévé emeli, a deduktiv módszer. A dedukálás — levezetés — többé-kevésbé egyszerű vagy összetettebb mennyiségtani számítás. A dedukció bizonyos tételek igazságára támaszkodik. Minden alapmegfontolás révén nyert algebrai kifejezésből matematikai műveletek segítségével nyert képlet deduktiv képlet Így pl. az évenkénti, egyes betétekből felnövekedett, vagy az évjáradék értékének algebrai képletét számítás útján a kamatos-kamatszámítás alapképletéből vezetjük le, vagy a gömbháromszögtan összes, a középiskolából már ismert formuláit az alapul vett cosinus tételből származtatjuk. A geometriában az elemi tételeket az axiómák és definíciók helyettesítik. Ugyanis néhány axiómából kiindulva, a térbeli alakzatokat definiáljuk és a geometriai definícióból következik az alakzat összes tulajdonsága. Ha pl. azt mondjuk, hogy a háromszög olyan síkidom, melyet három egyenes úgy határol, hogy kettő-kettő egymást a háromszög csúcspontjaiban metszi, akkor a háromszöget definiáltuk és ebben a definícióban az az axióma foglaltatik, hogy két egyenes egymást egy pontban metszi. Hogy a geometriában a dedukciót megkönnyítsük, vagyis valamely geometriai alakzat összes lényeges tulajdonságait megállapíthassuk, segítő vonalakat, szögeket, vagy egész idomot használunk fel. Azt a tételt, hogy a síkháromszög belső szögeinek összege két derékszög, azon hipotézis alapián, hogy a megfelelő szögek és így a váltószögek is egyenlők, a háromszög valamely oldalával és a szemközt fekvő csúcsponton keresztülmenő s a nevezett oldallal parallel haladó segítő egyenes vonal felvételével a legegyszerűbben mutathatjuk ki. Vagy az egyenlőszárú háromszög összes tulajdonságait megállapíthatjuk, ha tudva előzőleg a háromszögekre vonatkozó egybevágási tételeket és az ezekből folyó következtetéseket, a háromszög csúcsát egy közvetítő egyenessel az alap felezési pontjával kötjük össze. Hogy a dedukció nemcsak kifejtési, hanem egyszersmind bizonyítási módszer is, azt már a felsorolt első két bizonyítási módszernél láttuk, mert hiszen mindkettő dedukció. Itt még csak egy igen primitiv példát említünk. Ha egy u. n. ferdeszögű háromszöget veszünk figyelembe, akkor mivel úgy látjuk, azt hisszük, hogy ebben a háromszögben nagyobb oldallal nagyobb szög fekszik szemközt. Ennek a hitnek geometriai általános tétellé való emelkedését azonban csak a dedukció biztosítja, 2
