Bánszky Pál – Sztrinkó István szerk.: Cumania 10. (Bács-Kiskun Megyei Múzeumok Évkönyve, Kecskemét, 1987)
Régészet - Bérczi Szaniszló: Szimmetriajegyek a honfoglaláskori palmettás és az avar kori griffes-indás díszítőművészetben
REGESZET 13 mációknak azt a tulajdonságát, hogy azok maguk és a belőlük transzformációk egymás utáni végrehajtásával képzett összetett transzformációk is mind tagjai a transzformációk szimmetriacsoportjának (valahogy úgy, ahogyan egy szám osztói és az osztókból képzett szorzatok is — ha azok még kisebbek a számnál — osztói a számnak). Vagyis az a művelet, hogy egymás után akár több transzformációt végzünk el, illetve az ilyen egymás után végzett transzformációkat azoknak megfelelő egyetlen transzformációval helyettesített transzformációval végezzük el, nem vezet ki a transzformációknak a szimmetriacsoportban összefoglalt köréből. A transzformációk egymás utáni elvégzését a transzformációk szorzásának is szokták nevezni, a két transzformáció egymás utáni elvégzésének megfelelő (annak hatásával egyenlő) egyetlen transzformációt pedig szorzattranszformációnak. Példaként tekintsük egy honfoglalás kori kengyel díszítőmintázatát (6. ábra. 5.) A szív alakban összehajló palmettacsokrokat végtelen hosszú szalagon képzeljük el! Első lépésként megfigyelhetjük, hogy a legkisebb ismétlődő elem egy palmettacsokor fele (a jobb vagy a bal). Bármely kiválasztott palmettacsokor felezővonalára helyezett tükörtengellyel elérhetjük a szalag önmagára képzését. De elérhetjük ugyanezt a palmettacsokrok közé helyezett tükrökkel is. Más típusú szimmetriaművelet az, hogy az ismétlődés távolságával (rácsállandónyival) eltoljuk a szalagot. E háromféle műveleten kívül ezek tetszőleges, egész számú megismétlései is ugyanezt eredményezik a szalagon, és önmagára képezik le a szalag mintázatát ezen műveletek tetszőleges „szorzatai", azaz a tetszőleges sorrendben egymás utáni végrehajtással létrejövő összetett transzformációk is. Azt mondhatjuk tehát, hogy a kengyel díszítőmintázatát önmagára leképező geometriai transzformációk a kétféle tükrözésből (az egyik tükörtengely a palmettacsokrok felezővonalán, a másik a palmettacsokrok közötti üres tartomány felezővonalán helyezkedik el) és egy rácsállandónyi távolsággal történő szalagmenti eltolásból építhetők föl. A tükrözések balról jobbra, vagy jobbról balra is történhetnek, ugyancsak igaz ez az eltolásokra is. Ha ezeknek a műveleteknek irányítást adunk, például a balról jobbra történő tükrözést, ill. eltolást tekintjük pozitív irányúnak, akkor az ezekkel ellentétes irányítású műveleteket negatív irányúnak tekintjük, és az utóbbiakat az előbbiek inverzének nevezzük. A teljes csoportszerkezet fölvázolásához figyelembe kell még vennünk azt a legegyszerűbb esetet is, hogy az alakzatrendszer helybenhagyása is szimmetriaművelet. A helybenhagyási transzformációt nevezik a csoportot alkotó szimmetriaműveletek egységelemének. Végül fönn kell állnia még egy követelménynek: a műveletek csoportosíthatóságának (asszociativitásának). Ha az előbbi szimmetriaműveleteket ABC betűkkel jelöljük, akkor e csoportosíthatósági föltétel így fogalmazható meg: (A • B) • С = (A • B) • С Ha tehát a szimmetria-transzformációk és ezek egymás utáni tetszőleges számú megismétléseiből képzett szorzattranszformációk olyan tulajdonságúak, hogy kielégítik a föntebb megfogalmazott feltételeket, vagyis:
