A Magyar Hidrológiai Társaság XXXIX. Országos Vándorgyűlése (Nyíregyháza, 2022. július 6-8.)
5. szekció - Hidrológia, hidrogeológia, hidraulika, numerikus modellezés - 7. Fekete Árpád - Keve Gábor (NKE): A villámárvíz kockázatának becslése sztochasztikus modellel
ségnek tekinthető. A P mennyiségek nemnegatív számok, sorösszegük egységnyi, mert valamely esemény soronként biztosan bekövetkezik. A főátlóban szereplő értékek a helyben maradás valószínűségét adják meg és a mátrix egy sora eloszlást fejez ki. A Markov-láncokkal kapcsolatban célunk mindig a hosszútávú viselkedésük vizsgálata. Ez tulajdonképpen a Pn vizsgálatát jelenti nagy n-ek esetén. Az egylépéses átmenet-valószínűségi mátrixot addig hatványozzuk, amíg az oszlopainak elemei állandósulnak, azaz \po P1-p 1 n lim Pn _ Po Pl-Pn __ P*-Po P1-P lnJ A P* mátrixot határmátrixnak nevezzük, a P0, Pv ...,Pn valószínűségek azt fejezik ki, hogy mekkora valószínűséggel találjuk a rendszert hosszú állapotváltozások sorozata után az egyes 0, 1, ..., n állapotokban (Kontur és társai 1993). A (P0, P1, ..,Pn) eloszlást invariáns (egyensúlyi) eloszlásnak nevezzük. Ha a Markov-láncban két idősor adatait (esetünkben a vízhozam (Xt) és a csapadék {A}) is figyelembe vesszük, akkor a Zt _ (Xt,Xt-1,Yt-T) állapot változókkal egy kétváltozós láncot kapunk, melyre a Markov-tulajdonság alapján felírhatjuk a P{Xt _ i\X± _ ivX2 _ i2..........Xt-± _ it-v Y± _j\.....n-1 =h-i} _ P{Xt _ Í\xt-1 _ h-i, Yt-T _ jt-r} egyenletet. A T a késleltetési időegységet jelöli a vízhozam és a csapadék adatok között. A lehulló csapadék mennyisége bizonyos idő eltelte után érezteti hatását a vízhozam adatsoron. A késleltetési idő kiszámítására statisztikai képlet is rendelkezésre áll a csapadék és vízhozam adatsor alapján (Yapo 1993): T _ minu: Cov(xt, yt_j) Ui—p (3)->xuy A fenti egyenlet tehát megadja azt a minimális pozitív késleltetést, amelynél a csapadék és a vízhozam értékek közötti keresztkorreláció szignifikáns 100(1-p)% szinten. Az u1-p értéke a standard normális eloszlás táblázatából visszakereshető a <P-1 (l — alapján. A (3) formulában ox és oy a két adatsor szórását, n az adatok számát jelöli. MARKOV-LÁNCOK A HIDROLÓGIÁBAN Az 1960-as évektől több külföldi kutató is modellezte Markov-láncokkal a különböző időszakok csapadékos és csapadékmentes napjainak egymás után következő folyamatát (Gabrielés Neumann 1962, Haan és társai 1976, Chin 1977). Az átmenet-valószínűségi mátrix segítségével következtetéseket vontak le arról, hogy ez a fizikai rendszer milyen valószínűséggel található csapadékos, illetve csapadékmentes állapotban. Az utóbbi években különböző területek éves csapadékösszegeit is vizsgálták Markov-láncokkal, amely témából több publikáció is született (Selvi és Selvaraj 2011, Yusuf és társai 2014, Fekete és Keve 2020). Igen elterjedt a Markov-láncok használata tározók méretének számításához. A méretezési eljárás során különböző tározóméret és vízkivétel esetén azt számítják, hogy az ismertnek tekintett eloszlású hozzáfolyás alapján mekkora valószínűséggel kerül a tározó különféle telítettségi állapotokba és mekkora lesz a kiürülés valószínűsége (Kontur és társai 1993). A Markov-láncokat már korábban is alkalmazták vízhozamok rövid, közép és hosszú távú előrejelzésére (Jackson 1974, Yakowitz 1985), valamint cikkünk témája is ehhez kapcsolódik.
