Hidrológiai Közlöny, 2020 (100. évfolyam)
2020 / 4. szám
64 Hidrológiai Közlöny 2020. 100. évf. 4. sz. állapotok ismétlődhetnek a következő évben, ezeket az önmagába jutó átmenet-gyakoriságokat mutatják az állapotok mellett lévő számok a zárt hurkokban. A gráfnak kölcsönösen egyértelműen megfeleltethető az alábbi átmenet-gyakorisági mátrix, melynek értékeit az 1. táblázat mutatja: 1. táblázat. Az átmenet-gyakoriság értékei SÍ S2 S3 S4 S5 SÍ 1 0 2 0 0 S2 0 0 2 3 1 S3 0 3 8 2 0 S4 0 3 2 1 0 S5 1 0 0 0 0 állapotokban. Látjuk például, hogy az SÍ, azaz a nagyon 3 csapadékhiányos évnek a valószínűsége —. A nevező minden esetben az adatsor elemszámától eggyel kevesebb, hiszen az indulási állapotba nem vezet átmenet. A kezdeti , ,, 13 6 14 6 í \ . eloszlás, azaz (pn = —; —; —; —; —Az atmenet-gya-V29 29 29 29 29/ korisági táblázatból megadható az egylépéses átmenet-valószínűségi mátrix, azaz P = /0,333 0 0 0 1 0 0,667 0 0 \ 0 0,333 0,5 0,167 0,231 0,615 0,154 0 0,5 0,333 0,167 0 0 0 0 0 ) Ebből a táblázatból meghatározható a kezdeti eloszlás, azaz, hogy milyen valószínűséggel van a rendszer az egyes A határmátrix számításához fel kell használni a már említett P*P = P* tulajdonságot. Ez alapján: /Pl Pi p2 p3 p+ Ps\ P5 /0,333 0 0,667 0 0 \ /P. p2 p3 p4 Ps\ p5 p2 p3 p4 0 0 0,333 0,5 0,167 ípi p2 p3 p4 Pi p2 p3 p+ P5 0 0,231 0,615 0,154 0 = Pi p2 p3 p4 p5 \p| p2 p3 p+ P5 ? 0,5 0,333 0,167 0 Pt p2 p3 p4 p5 p2 p3 p4 P5/ 0 0 0 0 / \Pi p2 p3 p4 pj Ez az alábbi egyenletrendszerhez vezet (tudjuk, hogy Pi + P2 + P3 + P4 + P5 = 1): 0,333p! + +P5 = P1 0,231 P3 + 0,5P4 = P2 0,667P1 + 0,333P2 + 0,615P3 + 0,333P4 = P3 0,5 P2 + 0,154P3 + 0,167P4 = P4 0,167P2 = P5 míg a csapadékhiányos év valószínűségére: P(445< § < 571) = F(571)-F(445) = -(^Sr) = (t,(_0’5) - 4X-1.47) =1 - 0X0.5) -1 + 4>(1,47) =0,9292-0,6915=0,2377 adódik. Szembetűnő, hogy igen közel (2%-on belül) vannak egymáshoz a két módszerrel számított valószínűségi értékek, a nagyon csapadékhiányos év esetén mindössze 0,0144, míg a csapadékhiányos évnél is csak 0,0197 az eltérés. Rendezve és Gauss-eliminációval megoldva kapjuk, hogy P1 = 0,055, P2 = 0,218, P3 = 0,472, P4 = 0,218, P5 = 0,036. Ezek az értékek adják tehát az állapotok invariáns eloszlását, melyeket a P mátrix hatványozásával is ellenőriztünk, a 16-dik hatványnál teljes azonosságot kaptunk. Az invariáns (egyensúlyi) eloszlás értékei alapján tehát hosszabb távon a nagyon csapadékhiányos év valószínűsége 5,5%, a csapadékhiányos évé 21,8%, az átlagos csapadékmennyiségű évé 47,2%, a csapadékos évé szintén 21,8%, míg a nagyon csapadékos évé 3,6%. Ebből a csapadékhiányos év átlagos visszatérési idejére —— = 4,58, míg a nagyon csapadékhiá- 0,218 ^ nyos év visszatérési ideiére —— = 18,18 évet kapunk. Ha összevonjuk az utóbbi két állapotot, akkor összességében ------------= 3,66 évente várható kisebb-nagyobb mérték-0,218+0,055 ben csapadékhiányos év. Figyelemre méltó, hogy az utóbbi 10 évben kétszer is előfordult nagyon csapadékhiányos év. Nézzük meg most, hogy a Markov-lánccal kapott valószínűségek mennyire térnek el a normális eloszlással számított értékektől. A nagyon csapadékhiányos év valószínűségére (a ^ valószínűségi változó az éves csapadéköszszeget jelöli) kapjuk, hogy P(4 < 444) = F(444) = = cj)(-l,48) = 1 -4>(1,48) = 1 - 0,9306 = 0,0694, A VEGETÁCIÓS IDŐSZAKI FÉLÉVES CSAPADÉKÖSSZEG VIZSGÁLATA A mezőgazdaság számára fontos vegetációs időszak áprilistól szeptemberig tartó periódusára is elvégeztük a csapadékösszegek vizsgálatát. Ezt vizsgálhatjuk az előző fejezetben ismertetett kategorizálással is, azonban most az SPI6 csapadékindex alapján végeztük az elemzésünket, mely 6 havi csapadékösszeggel számol. (.Megjegyezzük, hogy az előző fejezetben vizsgált éves csapadékösszegeket az SPI12 csapadékindex alapján is kategorizálhattuk volna) Az SPI (Standardized Precipitation Index) a nemzetközi aszálykutatási gyakorlatban alkalmazott mutató mely adott időszak pozitív (nedves) és negatív (száraz) hidrológiai anomáliáit számszerűsíti. Az SPI pontos definíciója és számítása statisztikai eljáráson alapszik (McKee és társai 1993), amely során az adott helyen, különböző időszak alatt érkező csapadékmennyiségre először gamma eloszlást illesztünk, átalakítjuk standard normális eloszlássá, majd pedig SPI értékké. A kapott SPI értékhez (x) tartozó standard normális eloszlás értéke (<X>(x)) megadja a vizsgált időszakra vonatkozó csapadékösszeg előfordulási valószínőségét. Például az x= -1 -hez tartozó érték kerekítve 0,16 (O(-l)=l-<J)(l)~0,16), ami azt jelenti, hogy az éghajlat változatlansága esetében 100 év alatt átlagosan 16 ilyen év fordulhat elő. Az SPI a standardizálás miatt eltérően csapadékos régiók összehasonlítására is alkalmas. Az SPI6 index tehát 6 havi csapadékösszeget vesz figyelembe, esetünkben az április 1-től szeptember 30-ig terjedő időszakot vettük. A 6. ábra mutatja az 1990-2019 időszak 6 havi csapadékösszegeit április 1-től szeptember 30-ig:
