Hidrológiai Közlöny 2012 (92. évfolyam)
3. szám - Laurinyed Pál–Szilágyi József: A diszkrét lineáris kaszkád modell kiterjesztése visszaduzzasztott folyószakaszokra
47 A diszkrét lineáris kaszkád modell kiterjesztése visszaduzzasztott folyószakaszokra Laurinyecz Pál 1 - Szilágyi József 2 'KÖVÍZIG, Gyula - 2BME Vízgazdálkodási és Vízépítési Tanszék, Budapest Kivonat: A kis esésű visszaduzzasztással érintett folyószakaszainkon a folyami előrejelzésekben széles körben alkalmazott diszkrét lineáris kaszkád modell nem képes a pontos árhullám-kép áthelyezésre. Egydimenziós hidrodinamikai modellel öszszehasonlítva a kaszkád eredményeit lineáris kapcsolatot találtunk a fő folyó vízhozama és a mellékfolyó vizsgált szakaszának átlagos átvonulási ideje (tározási együttható inverze) között, folyami előrejelzés, diszkrét lineáris kaszkád, visszaduzzasztás. Kulcsszavak: Előzmények A folyami előrejelzésekben több mint fél évszáda használatos eljárást Kalinyin és Miljukov (1957) dolgozta ki, a Saint-Venant egyenletek [1-2] egyszerűsítésén keresztül a karakterisztikus szakasz bevezetésével. Folytonossági egyenlet: dA dQ dt dx ahol: A-nedvesített terület [L 2], Q-vízhozam [L'T 1], qhossz egységre jutó hozzáfolyás [L 2T ] Dinamikai egyenlet: - q = 0 [1] dQ dt + d(Q 2 / A) dx + gA dz dx + S )0 [2] J [3] ahol: A -nedvesített terület [L 2], Q - vízhozam [L 3T'] ; g nehézségi gyorsulás [LT 2], z - vízszint [L], S e— energiavonal esése [-], t-idő [T] Az egyszerűsítés során a folytonossági egyenlet hosszmenti integráljából kapjuk a tározás alapegyenletét [3], azzal a feltételezéssel, hogy a hossz-menti hozzáfolyás értéke zérus. A karakterisztikus szakaszban a vízállás-és a tározott víztömeg között egyértelmű kapcsolat van. Az eljárás feltételezi, hogy a tározási egyenlet lineáris, és a medertározás csak a szakaszból kifolyó vízhozam függvénye [4], Folytonossági egyenlet: = 0,(0 - &</) ahol: S -a szakaszban tározott víztömeg [L 3], Qi - a felső szelvény vízhozama [L 3t'], Q 2 -az alsó szelvény vízhozama [L 3T"'], t -idő [T] 4 Dinamikai egyenlet S(t) = KQ 2(t) [4] alakú függvénye, ahol a K az átlagos átvonulási ideje a szakasznak [T], Egy jellemző szakaszra tehát a következő közönséges, lineáris idő-invariáns differenciálegyenlet írható föl: dQ 2(t) dt Az egyenlet relaxált (kezdetben üres szakasz esetén) megoldása Q 2-re könnyen elkészíthető Q, konvolúciójával az impulzus válaszfüggvény használatával. A folytonos KMN kaszkád állapotteres leírása Az időben folytonos KMN-kaszkád állapotteres leírását Szöllősi-Nagy (1976) adta meg. Itt annyit jegyzünk meg, hogy az állapotváltozó egy dinamikus rendszer bemenete és kimenete közötti matematikai objektum, amely általában fizikai tartalommal felruházott. Az állapotegyenlet [6] közönséges lineáris differenciálegyenlet - és az algebrai kimeneti egyenlet [7] általános leírása. i(t) = F x(t) H Gu(t) [6] z(t) = Hx(t) [7] K + 02 (0 = 0(0 [5] ahol: u{t)~ bemeneti változók, x(t) az állapotváltozók vektora, v(t) ~ kimeneti változók, t - idő, F - rendszermátrix. G - bemeneti mátrix, H - kimeneti mátrix A lineáris idő-invariáns (F,G,H konstansok) folytonos KMN-kaszkád tehát sorba kapcsolt elemi tározókból áll. Egy elemi lineáris tározó kimenete a következő elemi tározó bemenete, míg az utolsó tározó kimenete, a teljes rendszer kimenete. Amennyiben x,(t) jelöli az i-edik tározóban lévő víz mennyiségét a t időpontban, akkor n sorba kapcsolt elemi tározó egyenlete, 1/K=k egyszerűsítéssel: u(t) [8] vagyis, x(t) = £x(t)-\ Gu(t) [9] ahol, E, a kaszkádmodell /Töplitz/ típusú n x n méretű együttható mátrixa, G pedig n dimenziós bemeneti együttható vektora. Mivel az utolsó elemi tározó idősora a teljes rendszer kimenete így a kimeneti egyenlet -k 0 " "1" x 2(t) k - k x 2(t) 0 x 3(t) = k -k + 0 0 k-k xjt) 0 y(t) = [0,0, •••,*] x 2(t) x 3(í) x„(!) [10] A H n-dimenziós kimeneti sorvektor bevezetésével: y(t) = ELx(t) [11] Az állapotegyenlet és a kimeneti egyenletek egy lineáris idő invariáns folytonos dinamikus rendszert definiálnak, melyeket egyértelműen jellemez a ^ KMN = (E, G, H) mátrixhármas. Itt utalnánk arra, hogy ha a lineáris kinematikus hullámot leíró parciális differenciálegyenletben a hossz-menti differenciálhányadost retardált sémával közelítjük, akkor az így kapott térben diszkrét, időben folytonos kinematikus hullám olyan közönséges differenciálegyenlet rendszerrel írható le, melynek együttható mátrixa szintén Töplitz típusú, és szerkezete megegyezik a KMN kaszkád rendszermátrixával. Ezen kívül az ily módon diszkretizált időben folytonos lineáris kinematikus hullám impulzusválasz függvénye a KMN kaszkád impulzusválaszával azonos, tehát a két osztályba tartozó modell ekvivalens egymással ennek következtében a két modell paraméterei kölcsönös és egyértelmű összefüggésben állnak egymással (Szilágyi, Szöllősi-Nagy,2010). Mindezeknek legfontosabb következménye, hogy csak felső határfeltétel ismerete szükséges, s ez teszi alkalmassá a modellt arra, hogy előrejelzések készítésére alkalmas legyen.
