Hidrológiai Közlöny 2012 (92. évfolyam)
3. szám - Szigyártó Zoltán: Folytonos eloszlások új illeszkedés-vizsgálata – A Fisher–Szigyártó próba továbbfejlesztése
SZ1GYÁRTÓZ. ^ol^tonos^eloszlásol^Tiir^ 31 6. Az S paraméter előjelétől függően a (16a) vagy a (16b) összefüggés felhasználásával kiszámítjuk a z n és a z* értékét. 7. Ugyancsak az S paraméter előjelétől függően a (17a) vagy a (17b) összefüggés felhasználásával meghatározzuk a z a és a z { értékét. 8. Befejezésként pedig (18) összefüggés felhasználásával kiszámítjuk az illeszkedésvizsgálat eredményét adó P F,s z értékét. Végül csupán egy kiegészítő megjegyzés: Ha az illeszkedés-vizsgálattal azt kívánjuk ellenőrizni, hogy egy E(y) exponenciális eloszlás minként illeszkedik egy empirikus eloszlás-függvényre, úgy elmarad a számítási menet előzőek szerint előirányzott 1. és 2. lépése. Ugyanis ilyen esetben már minden számítás nélkül, közvetlenül rendelkezésre az h valószínűségi változóra vonatkozó, h,, h 2, ..., h„ elemekből álló minta. Egy gyakorlati példa Hazánkban (a hidrológiában általában NV-vel jelölt) évi legnagyobb jégmentes vízállások eloszlása a gyakorlat szempontjából jól közelíthető normális eloszlással. így várható, hogy a 2002-2009. közötti (szomszédjaitól a középérték szempontjából eltérő) nyolc éves időszakban a Tisza, Szolnok vízrajzi állomás évi legnagyobb jégmentes vízállása is hasonló módon viselkedik. Vagyis, mint valószínűségi változó, ugyancsak jól közelíthető az erre az időszakra vonatkozó M=707,5 cm középértékkel, továbbá (a 1901. és 2009. közötti időszak adatai alapján meghatározott) D = 105,6 cm szórással jellemezhető normális eloszlással 1 (Szigyártó 2012). Ennek ellenőrzésére az előzőekben bemutatott továbbfejlesztett „Fisher-Szigyártó próba" segítségével elvégzett illeszkedés-vizsgálattal, nézzük meg azt, hogy az adott esetben a normális eloszlással történő közelítés menynyire elfogadható. 1. táblázat. Az z 0; 8 számítása 1 i-1 B í 0 0,0645 2 1 0,2076 3 2 0,3747 4 3 0,5754 5 4 0,8267 6 5 1,1632 7 8 6 7 1,6740 2,7726 n=8 S B= A= 7,6586 2,7726 Zo;8 =A/SB 0,3620 A = -In 1 A = -In 2-n B = -In / 11 i-1 1 B = -In / 11 2 n n J ' Az utóbbi néhány évben elvégzett vizsgálatok eredményeként az évi legnagyobb jégmenetes vízállások esetében a minta egy meghatározott, azonos középértékkel rendelkező rész-szakaszára csak a középértéket közelítjük a rész-szakasz középértékével. Az összes szomszédjaitól eltérő középértékkel rendelkező rész-szakasz szórását viszont a vízmérce-állomás szelvényére jellemző egyetlen szórással közelítjük. Ezt a szórást pedig úgy számítjuk ki, hogy először minden rész-szakaszra meghatározzuk az annak időtartamán belül észlelt minta elemek és a szakasz középértékének az előjel helyes különbségét, majd pedig ezeknek a különbségeknek a mintára vonatkozó összessége alapján, a szokásos módon kiszámítjuk a szórás értékét. 2. táblázat A z a és a z f számítása Alapadatok Számítások n= 8 z a= 0,2785 h= 3 k (-1 r Szorzat 1 1 0,1018 8 0,8145 2 -1 0,0034 28 -0,0939 3 1 0,0000 56 0,0002 P(z>z a)=l-F(z.) =S= 0,7206 n= 8 zp0,5869 h= 1 k (-If (1 -*z)"' Í"1 k 1 Szorzat n= 8 zp0,5869 h= 1 1 1 0,0021 8 0,0164 P(z>z a)=l-F(z f)=S= 0,0164 A végeredmény számítása: F (z,) = 1 -0,7206=0,2794, 1 -F (z r) =0,0164; Pf, S Z=1+ F(Z.) -F(z f)=0,2794+0,0164=0,2958 2. táblázat. Az illeszkedés valószínűségének számítása Év NV (cm) x, Alapadatok Normális eloszlás F(x,) -ln[lF( xi)l A 28 számítása 2002 689 n=8 0,4305 0,5629 Shj=10,6687 2003 482 z 0; 8=0,3620 0,0164 0,0165 ^•=6,2617 2004 740 0,6209 0,9699 zg=0,5869 2005 817 M=707,5 cm 0,8501 1,8979 2006 1013 D= 105,6 cm 0,9981 6,2617 2007 667 0,3507 0,4318 2008 654 0,3062 0,3656 2009 598 0,1499 0,1624 Az illeszkedés-vizsgálathoz szükséges z a és z {számítása: alapadatok: «=8, z 0 ;8=0,3620, z 8=z n=0,5869, 5=0,2249, Z g =0,2785; eredmények: za=0,2785, zf=0,5869 . Az ennek érdekében elvégzett számítások eredményét az 1.-3. táblázat foglalja össze; úgy, hogy az ezekben feltüntetett számítási eredmények mind 4 tizedes jegyre vannak kerekítve. 2 E három táblázat közül az 1. táblázat az illeszkedés-vizsgálathoz szükséges z 0 ;g értékének a számítását mutatja be. Megjegyezve, hogy ebben a táblázatban egyben feltüntettük a számítás elvégzéséhez felhasznált képleteket is; amelyek természetesen a tanulmány (8) összefüggésének a lépésenkénti meghatározását mutatják be. Az így kapott eredményre támaszkodva a számítások a 2. táblázat szerint folytatódnak, amely a felső részében összefoglaltuk - az évenkénti NV értékre vonatkozó nyolcelemű mintát; - az illeszkedés elvégzéséhez szükséges alapadatokat (a minta elemszámát, az ennek megfelelő, már kiszámított z 0,g értéket, továbbá a vizsgálathoz felhasználandó középértéket és szórást); - a megadott középérték és szórás felhasználásával az egyes mintaelemekre a normális eloszlással számítható F(x () eloszlásfüggvény értékeit; - ezeknek a (20) összefüggéssel átszámított és h-vel jelölt értékeit - melyek empirikus eloszlásfüggvénye ugyanúgy il2 Természetesen e kerekítés következetes végrehajtásának a következménye az, hogy a táblázatokban bemutatott összeadások négy tizedes jegyre kerekített eredménye nem szükségképpen azonos a négy tizedes jegyre kerekített összeadandók összegével!
