Hidrológiai Közlöny 2012 (92. évfolyam)
3. szám - Szigyártó Zoltán: Folytonos eloszlások új illeszkedés-vizsgálata – A Fisher–Szigyártó próba továbbfejlesztése
28 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2012. 92. É VF. 3. SZ. E(y) = l-e -í-y (3) exponenciális eloszlás esetében az abból származó és egymástól teljesen független elemekből álló, n elemű minta 77* legnagyobb eleméből és a minta j elemeinek az összegéből k épzett (4) hányados, mint valószínűségi változó eloszlásfüggvénye (a nálunk szokásos jelölésrendszerrel élve ) f(z)=p( <r < z)=i - £ (-í)*1 • a - * • zr 1 • (;) (5) ahol n (az előzőeknek megfelelően) a minta elemszámát, és h az 1/z egész részét jelöli. Ennek megfelelően ez egy olyan eloszlás, amelynél a z független változó korlátos, s rá érvényes az \ln<z- 1 (6) összefüggés; következésképen - az alsó határérték egy olyan mintához tarozik, amelynek minden eleme azonos, és - a felső határérték egy olyan mintánál áll elő, amelynek csak egyetlen eleme különbözik 0-tól; - az eloszlásfüggvény alakja pedig (ahogyan azt az 1. ábra is szemlélteti) kizárólag a minta n elemszámától függ. Független változó, z 1. ábra. Fisher-eloszlás n=2, n=4 és n=8 elemű minta esetén Végül Fisher ennek az eloszlásfüggvénynek a felhasználásával a próba elvégzését úgy javasolja, hogy az n elemszámú minta birtokában a (4) összefüggéssel meghatározott z=z„ értéket a Zn=Zn (7) egyenlőségből kiindulva helyettesítsük be az (5) szerinti eloszlásfüggvénybe, s a minta illeszkedését a z értéknél nagyobb z értékek előfordulásának a valószínűségével jellemezzük. Ami sajnos azt jelenti, hogy a z= 1/n értékhez közelítve a kiszámított valószínűség annál nagyobb lesz, minél inkább hasonlít az empirikus eloszlásfüggvény az azonos értékekből álló mintából meghatározható és az exponenciális eloszlásra végkép nem illeszkedő empirikus eloszlásfüggvényre! A továbbfejlesztett Fisher-Szígyártó próba Illeszkedés-vizsgálat exponenciális eloszlás esetén Az előzőekben láttuk, hogy a Fisher által javasolt eljárás nem az exponenciális eloszlásra legjobban illeszkedő empirikus eloszlásfüggvényhez rendeli a valószínűség lehetséges legnagyobb, P=l-es értékét. Ez indokolja tehát azt, hogy Fishernek ezt a javaslatát figyelmen kívül hagyva, az illeszkedésre jellemző valószínűséget az általa levezetett (5) eloszlásfüggvény felhasználásával más módon számítsuk ki Mégpedig úgy, hogy valóban a legjobb illeszkedéshez tar tozzék a lehetséges legmagasabb valószínűségi érték. 1,0 1 JL 0.8 Az exponenciális eloszlás független változója, y 2. ábra. A legjobban illeszkedő empirikus eloszlásfüggvény értelmezése A célszerű eljárást keresve hangsúlyozni kell azt, hogy az eloszlásfüggvény az empirikus eloszlásfüggvényre nyilván annál jobban simul, minél kisebbek a kettőjük közötti, abszolút értelemben vett eltérések. Más oldalról nyilvánvaló az, hogy egy n elemű minta esetén ezeknek az eltéréseknek a lehetséges legkisebb értéke 1/2« (amint azt a 2. ábra is szemlélteti). Esetünkben tehát ezért célszerű az illeszkedés jóságát azzal mérni, hogy az n elemű mintából számítható z=z B=z n érték milyen közel van az említett 2. ábra szerinti lehetséges legjobb illeszkedéshez tartozó és — az exponenciális eloszlás / paraméterének az értékétől függetlenül — a (8) értékhez. A minta etomazjma, n 3. ábra. Az Z o :„ értékének változása a minta n elemszámának függvényében A z 0; n értéke tehát — éppen úgy, mint a (5) összefüggés szerinti eloszlásfüggvény — kizárólag csak a minta elemszámától függ. Továbbá, ahogy ezt a 3. ábrán is látható, értéke a minta elemszámának függvényében (ugyanúgy, ahogy az eloszlás alsó határértéke) mind jobban csökken. Az így definiált z 0; n érték felhasználásával aztán az illeszkedés megbízhatóságának a meghatározására szolgáló eljárás a következő meggondolásokkal határozható meg: A módszer kidolgozása során a kiindulási alap nyilvánvalóan az kell legyen, hogy abban az esetben, ha az empirikus eloszlásfüggvény az eloszlásfüggvényhez a lehető legjobban illeszkedik, úgy
