Hidrológiai Közlöny 2009 (89. évfolyam)
1. szám - Vágás István: Közgazdaság-tudomány, hidraulika, valószínűség-elmélet: hasonlóságok?
63 Közgazdaság-tudomány, hidraulika, valószínűség-elmélet: hasonlóságok? Vágás István 6726. Szeged, Székely sor 13/A Kivonat: Kulcssavak: A napjainkban kifejlődő gazdasági világválság ismét érdeklődést keltett a 20-as és 30-as évek híres angol közgazdaságtudósa, J. M. Keynes (1883-1946) munkássága és elméleti meggondolásai iránt. így volt ez nálunk 1968. idején is, az akkori „új gazdasági mechanizmus" indulásakor. Rövidesen kiderült, hogy Keynes alap-elgondolásai matematikai hasonlóságokat mutatnak a hidraulika egyes alap-kérdéseinek elméletével, amelyeknek később valószínűség-elméleti kapcsolataira is rá lehetett utalnunk. Ez a rövid áttekintés a Keynes-féle, ma talán újra időszerű közgazdasági elmélet hidraulikai és valószínűség-elméleti kapcsolódásait és rokon vonásait kívánja bemutatni, közgazdaság-tudomány, hidraulika, valószínűség-számítás. A Keynes-féle közgazdasági modell az y nettó nemzeti jövedelmet a beruházásokra szánt x, és a fogyasztásra szánt R. y kifizetések összegének tekinti. y=x + R.y (1) A fogyasztásra fordított összegek itt a nemzeti jövedelem hányadaként jelentkeznek, tehát 0 < R < 1, azzal a megjegyzéssel, hogy R nem feltétlenül egyszerű szám, hanem jelölhet függvényt, vagy mátrixot is (amelyeknek az abszolút értéke kisebb egynél). Rendezés után: y = (1 — R) 1. x (2) ahol a (-1) hatványon lévő, de gyakran tört alakban is írt kifejezést Keynes-szorzónak nevezik. Az (1) egyenlet értelmezésével tulajdonképpen szabályozás-elméleti „visszacsatolást" létesítettünk, mert az R . y kifejezést is a rendszerbe vittük. Az eljárást ismételhetjük. Az első lépésben y,=x + R.y„ (3) A második lépésben: y 2 = x+R .y, = x+R .x+R 2.y 0 = (1+R). x + R 2.y 0 (4) Az n-edik lépésben: y = (l + R + R 2+R'+ ... + R") .x = (l - Rf'.x (5) Az utolsó egyenlőséget a végtelen mértani sor összegképlete adta, hiszen megállapodásunk szerint R < 1. Viszont az (5)-tel a (2) egyenlethez jutottunk vissza, igazolva a Keynes-szorzó általánosságát. * A lineáris kaszkád-model\ alsó kifolyó nyílású medencék (edények) sorozata, amelyek a beléjük vezetett vízhozamot meghatározott, olyan belső vízoszlop-magassággal bocsátják át, amely magasság a kifolyó vízhozamot egyenes arányosság szerint szabályozza. A víz medence-sorozaton történő átfolyásának kezdetén a később végig állandó x = Q h vízhozam megindítása pillanatában az első (legfelső) medence kifolyó vízhozama: y 0 = Q v 0 = 0. Tartson ez a kezdeti állapot At —> 0 időtartamon át, ami alatt a medencében AV = Q h .At vízmennyiség tárolódhat. Ez Ah vízoszlopot alakít ki, amely az időben változó Q,i kifolyó vízhozam kialakításának kezdetét jelenti. A prizmatikus alakú medence víz-kifolyásra merőleges F átfolyási felületének ismeretében AV=F.Ah = Q„.At (6) A Qvi kifolyási vízhozam kialakításának tetszőleges pillanatában a At időközök fA-/)-edik majd t 0 időköz múlva a A-adik lépésében kialakuló térfogatok: to. [Qr. k - Qv.k-il = /Q„-Q b,k-il • At. (7) Jelöljük a At/t 0 hányadost r-rel, s rendezzük a (7) egyenletet: Qvk = Qi- r + Q V: k_,.(l - r) (8) Itt is általánosíthatunk az n-edik lépésig, mint (5)-nél. VÁGÁS ISTVÁN Qr,n = Q„.r.[l+ (1-r) + (1-r) 2 +...+ (l-r) ( n"j (9) A szögletes zárójelben most is mértani sor összege szerepel, amelynek első tagja /, hányadosa pedig (1-r). Az összeg-képlet alkalmazásával, egyszerűsítés után: Qv.n = Q„.[l-(l-r) nl (10) Azonban: (1 - rf = e n i n"r> = e" r (11) mert itt most In (1-r) —> -r . Visszahelyettesítve r eredeti értelmezését, a (10) egyenlet további alakja: Q v = Q„.[1- e^l = (1 - Rf'. Q h (12) Az utolsó egyenlet akkor jogosult, ha az: R = 1 - (1 - é"' 0)1 (13) összefüggés alapján a K.eynes-szorzónak hidraulikai értelmezést is adhattunk. Ezáltal megteremtettük a lineáris kaszkád modell medence-sorozatának hidraulikai alap-egyenlete és a Keynes-féle közgazdasági alap-egyenlet közötti azonosság kapcsolatát. Igen fontos a (12) egyenletsor második tagja, hiszen ez az elő-telítésű lineáris kaszkád modell első (legfelső) medencéje vízhozamának, ezzel lineárisan arányos vízállásának idő-függvénye. A további medencék kifolyási vízhozamának Q = Q(t) idő-függvényeit régebbi tanulmányainkból idézhetjük. Rövidebben, ha csak a Q h = const, indító vízhozam különböző, i = 1, 2, 3 ... n sorszámú medencékbe történő átfolyásának idő-függvényeit tekintjük, a Pj(t) - Qi(t)/Q h és a x = t/t 0jelölés bevezetése után kaphatjuk: P,(t) = e\ P 2(t) = t.e\ P 3(t) = (2l)~'. f.e 1 (14) PJt) = [(n-l)lf 1. e x (15) A kapott összefüggésekben nem hiába használtunk a vízhozamok arányaira P,• jelölést. Ezek ugyanis a valószínűség-elmélet i-rendszámú Poisson-fiiggvényei. E függvényeket tisztán valószínűségi modellből (pl. a csak pozitív irányú lépést és/vagy helyben maradást megengedő vonal-menti bolyongás modelljéből) is előállíthatjuk. * Mondhatnánk végül azt is, hogy Keynes közgazdasági modellje, így a Keynes-szorzó a vonal menti bolyongás valószínűségi viszonyaival is elvi kapcsolatban állhat, s a közgazdaság-tudomány egy fontos modellje ugyanazokkal a matematikai formulákkal is követhető lenne, amely egy feltételezett részeg ember kocsmából való hazaindulásának valószínűségi idő-függvényeit is leírhatja? Irodalom Lange, O.: Bevezetés a közgazdasági kibernetikába. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest,. 1967. Vágás /.: Az önszabályozás szemléletének alkalmazása a hidrológiai rendszerek elemzésében. Hidrológiai Közlöny, 1969. 7. Vágás I.: Egységes valószínűségi leírás ... a lineáris kaszkád-modellre és a vonal menti bolyongás egyes eseteire. Hidr.Közlöny, 1991. 2. aranydiplomás mérnök, a műszaki tudomány doktora, címz, műegyetemi tanár, a Hidrológiai Közlöny főszerkesztője. Economics, hydraulics, probabilities: similarities? (by Vágás, I.)
