Hidrológiai Közlöny 2008 (88. évfolyam)
5. szám - Gálai Antal: A web-kamerás folyami jégmegfigyelés alapjai
14 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2008. 88. ÉVF. 5. SZ. y = A (Rx + t) (10) ahol R a forgatásmátrix és a t az eltolás a külső paraméterek. X az valós térbeli koordinátákat, míg Y a kép pixelkoordinátát jelöli. A kamera belső jellemzőit az A mátrix tartalmazza: a 7 A = 0 0 0 ° ' (11) ahol (u„;vj a képközéppont pixelkoordinátái, a és ß a kép u és v tengelyeihez tartozó skálafaktorok, míg y paraméter a képérzékelő CMOS chip két tengelyének ferdeségét jellemzi. A kalibrációs modellsík magassági koordinátáját válaszszuk zérusnak, Z = 0, s a rotációs mátrix harmadik oszlopának így lehetővé váló elhagyása jelentősen megkönnyíti a megoldás keresését H = A x [ri r 2 t] & m £ = H x M ; A képen modellezendő víztükrön lévő M, ismert koordinátájú síkbeli pontok képei rendre az nij -vei jelölt ismert képpontok, ideális esetben kielégítik az m = H-M homográf vetítési egyenletet, de ez a képpontokat zavaró zaj miatt nem teljesül. A víz síkja és a kép közötti H homográf leképezés mátrixának meghatározására választhatjuk a maximum likelihood módszert, de a pontos megoldáshoz egy kezdeti értéket kell más módon először becsülnünk. A modellpontok véletlenszerű választása miatt feltételezhetjük, hogy az nij pontok mindegyike azonos, 0 várható értékű és ff 2 szórásnégyzetű eloszlást követő Gauss-féle zajjal terhelt, emiatt a kovariancia mátrix A = (T-I, ahol I az identikus leképezés egységmátrixa. H mátrix elemeit a következő nem-lineáris legkisebb négyzetes formula minimalizálásával nyerjük: XM, hjM, ...(13) Az összegzésen belüli szorzást végrehajtva s a közös szórásnégyzetet kiemelve látjuk, hogy a legkisebb a 2-et a minh II rr l- H J H elemei szerinti minimumánál nyerjük, ahol H x M, zajjal terhelt szorzat a harmadik koordinátával normalizált is. A normalizálás következménye a nem-lineritás, s a nem-lineáris minimalizáláshoz szükséges kezdeti „becsült" értékhez a következőképpen jutunk: Mivel az m. H x M, egyenletben a H elemei az ismeretlenek, míg az mi=(u;v) képi- és a M ( térbeli ismert koordináták, a normalizálási egyenletet mi elemeire, u-ra, v-re külön-külön felírva s a nevezővel átszorozva kapjuk: ^(rríj - rhi) r A '(m, - riii) m, hjM, MJ 0 0 MJ —UjMf = 0 (15) u h^ M, = hfM, & v hjM; = hjM; H ismeretlen h 1,h2,h 3 oszlopainak összesen 9 eleme van, miközben az n ismeret pont mindegyikére - u-ra, v-re - felírhatjuk az előző kétsoros mátrixegyenletet s ekképpen 2n egyenletet kapunk, következésképp a mért adatokra felírt Lx = 0 homogén lineáris egyenletrendszer együttható-mátrixa 2n*9-es méretű. A keresett megoldás az L TL mátrix legkisebb sajátértékéhez tartozó sajátvektorral egyenértékű. Persze a kép és térbeli koordinátákat együttesen tartalmazó együttható-mátrixot a numerikus stabilitás érdekében - a sajátvektor keresés előtt még - mindenképpen ajánlatos normalizálni. Mivel ez gyakran előforduló részfeladat, ezért egyik lehetőség a hivatkozás az irodalomra lenne, másrészt mivel eddig is — lineáris algebrai megfontolásokkal éltünk, az egyenlet felállításnál - az alapok ismeretét az olvasóról feltételeztük, nem okozhat gondot a követett gondolatmenet ismertetése, s ezáltal minimalizálhatjuk a szükséges külső és/vagy előzetes ismereteket. Az Lx = 0 egyenlet kvadratikus L esetén jól ismert, a triviális x = 0 -tói különböző megoldása csak szinguláris L esetén, vagyis | L | = 0 feltétel teljesülésekor létezik, s az általános megoldás szabadságfoka függ a legnagyobb nem nulla aldetermináns méretétől, vagyis az L rangjától. Ez egyben természetesen ekvivalens a fekvő téglalap együtthatójú - határozatlan - esettel, melyben a mátrix rangján túli számú ismeretlen értékét szabadon választhatjuk meg. Ettől különbözik a túlhatározott eset, mikor is az ismeretlenek számától nagyobb mennyiségű egyenlet áll rendelkezésre. Esetünkben a geometriai modell felépítéséből következik az ismeretlenek száma, s a rendelkezésre álló képek és a kalibrációs modell alapján párba állítható ismert koordináta párokból, vagyis a kamerával megfigyelt folyószakasz két partján bemért és a képeken is felismert pontok térbeli és képi koordinátáiból állíthatók fel az egyenletek. Ha sok pontot mérünk sok egyenletünk lesz. Ez azonban nem gondot okoz, hisz ha kevesebb mért pont alapján számolnánk, akkor kevesebb esélyünk lenne a mérési hibák és főleg a kamera technológiájából fakadó egészértékű kerekítések és torzulások pontatlanságot okozó hatásainak csökkentésére. Az Ax = b egyenlet h = Ax-b hibával határozza meg az x ismeretlent, ezt a hibavektort szeretnénk x célszerű megválasztásával a zérushoz közelíteni, vagyis a hibavektor önmagával vett skalárszorzata h'h => min (14) s az együtthatókat rendezve, a h 1,h 2,h 3 ismeretleneket különírva a következő mátrixegyenletet kapjuk: h rh = (Ax—b) r(Ax-b) = (x rA r-b T)(Ax^b) = x rA rAx-b rAx-x7{^b t b rb (]6) mivel ez a sor-oszlop szorzat egy skalár, ezért a tagok is lxl-es szimmetrikus mátrixok, transzponáltjukkal egyenlők tehát h r Ax = x' A 1 b vagyis h rh = (Ax—b) T(Ax—b) = (x TA r-b r)(Ax-b) = x rA rAx-2b rAx+b rb (17) E vektor=>skalár függvénynek ott a minimuma, ahol a keresett x vektor elemeit alkotó változók szerinti parciális deriváltak zérus értéket vesznek föl. E változást a h'h skalár gradiense mutatja: [grad h rh]. dii = ^(x TA TAx-2x rA Tb) = dx^ ' dxi rAx) — 2A rb (18) A rb Az x rA rb skalár még áttekinthetően felírható, s a gradiens fogalmából nyilvánvalóan következik, hogy deriváltja fogas" kérdést: u - a [gradx TBx\ k = (i) ahol az egyik összegzés i, míg a másik j szerint történik, s ennek az összegnek is a deriváltja a deriváltak összege, melyekben csak i = k vagy j = k esetek fognak szerepelni, lévén a többi x k -ban változatlannak, konstansnak tekintendő, vagyis a deriválással eltűnik. , azonban a x rA rAx átláthatatlanabb, ezért egy kis kitérővel válaszoljuk meg e . dl k X> Z M,) = 5-IZ (i) <0 0) (19)
