Hidrológiai Közlöny 2006 (86. évfolyam)
4. szám - Szűcs Péter–Tóth Andrea–Virág Margit: A leggyakoribb érték (MFV) módszerének alkalmazása a hidrogeológiai modellezésben
30 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2006 . 86. ÉVF. 4. SZ. Ad = G 0Am, ahol Ad = d_ d - d ctt l, (4) és G 0 az érzékenységi mátrix. Az érzékenységi mátrix magában foglalja a számított adatok modellparaméterek szerinti parciális deriváltjait. Fontos kérdés annak tisztázása, hogy egyedi megoldás létezik e vagy sem (egzisztencia), és hogy a megoldás stabilnak tekinthető vagy nem (stabilitás és konvergencia). Az L 2 norma esetében a modell paraméterekre a megoldás a következő. A gyakorlatban a túlhatározott rendszerek alkalmazása a leggyakoribb (Sen and Stoffa 1995). Ebben az esetben a mért adatok száma (ND) nagyobb vagy sokkal nagyobb, mint a modellparaméterek száma (NM). így az alábbi kifejezés nyerhető. \m e s, = [g tgYg tM (5) Gyakran előfordul, hogy a mért adatok egy diagonális W mátrixszal súlyozhatok, valamilyen egyéb többlet információ alapján. Az elterjedt Marquardt- Levenberg algoritmust alkalmazva, az (5) egyenlet iterációs megoldása az alábbi módon módosítható (Marquardt 1970): Am^ = [G tWG + cd]"' G TWAd (6) ahol a az ún. Marquardt paraméter, amely értéke fokozatosan tart nullához az iteráció során. Ezért a Marquardt-Levenberg módszer, amelyet gyakran Ridge-regressziónak is neveznek, az iterációk kezdetén tulajdonképpen gradiens módszerként működik. Ezt követően fordul a Gauss- Newton módszerbe az optimális megoldás közelében. Annak ellenére, hogy a Marquardt-Levenberg algoritmus nagyobb stabilitást biztosít, a hatékonysága még mindig erősen függ a startmodell paramétereinek kezdeti értékétől. Ha a hidrogeológiai célfüggvénynek több lokális minimuma van, a fentebb említett lokális minimumhely kereső algoritmusok nem a globális minimumot szolgáltatják megoldásként "nem megfelelő" startmodell esetén. A következő egyszerű minimumhely kereső próbát végeztük el: Egy kétdimenziós szinusz kardinálisz hibafüggvényt definiáltunk a következőképpen (1. ábra): z(x,y) = 1.1 - sin c(x) sin c(y) (7) Globális minimumhely Z(X,Y) / x 1. ábra. Kétdimenziós felület számos lokális és egy globális minimummal azx = 0y = 0 helyen A függvény által leírt felületnek számos lokális és csak egyetlen globális minimuma van az x = 0, y = 0 helyen (1. ábra). Ha a Levenberg-Marquardt algoritmust az x = 3.5 és y = 0 pontból indítjuk, az x = 3.53 és y = 0 helyen található lokális minimumot kapjuk megoldásként. A kísérletet többször megismételtük különböző kezdeti értékekkel, hogy leellenőrizzük a globális minimumkeresés hatékonyságát. A globális minimumot a Levenberg-Marquardt módszerrel csak akkor értük el, ha a kezdőpont a globális minimum körüli „völgy" oldalain belül volt. A Simulated Annealing algoritmus könnyen megoldja ezt a feladatot anélkül, hogy elakadna egy lokális minimumban. Globális optimalizáció, a „Simulated Annealing" módszere A genetikus algoritmus (GA) mellett, a Simulated Annealing (SA) vagy a „szimulált hűtés" módszerét széles körben alkalmazzák a globális minimumhely megtalálására a különböző mérnöki és természettudományi optimalizációs problémákban (Sen and Stoffa 1995). Kirkpatrick és társai (1983) megmutatták, hogy a Metropolis és társai (1953) által ajánlott fém olvadékok viselkedésének analógiájára felépített matematikai algoritmus olyan optimalizációs problémákra használható, ahol a minimalizálandó célfüggvény a fémek energiaállapotának felel meg, a kontroll paraméter pedig a hőmérsékletnek. Napjainkban számos újabb módosított módszere létezik a klasszikus Metropolis algoritmusnak. Ezek közül az Ingber (1989) által bevezetett Very Fast Simulated Annealing (VFSA), vagy magyarul a nagyon gyors szimulált hűtés módszer tűnik a leggyorsabbnak és leghatékonyabbnak sokváltozós problémák esetében. A klasszikus Metropolis algoritmus előállítása adott hidrogeológiai problémára viszonylag egyszerű. A kezdeti modell paraméter vektort jelöljük nij- vei, ekkor a célfüggvény (vagy hibanorma) E(m;)- ként adható meg. Ezt követően pedig egy új paraméter vektort (m,) és a hozzátartozó célfüggvényt E(mj) generálhatunk. A célfüggvény értékében történő változás a következő: AEy =E(m j )-£(«,) (8) Ha AEy < 0, az új rríj paraméter vektort minden esetben elfogadjuk. Ezzel szemben, ha a£V >0> az m, paraméter vektor elfogadásának valószínűségét a következő egyenlet formájában adjuk meg: A E P = exp( (9) ahol T a hőmérsékletnek felel meg. Ezt az elfogadási feltételt Metropolis kritériumnak nevezzük. Ez a kritérium biztosítja annak a lehetőségét, hogy az algoritmus ne akadjon el a lokális minimum helyeken. A hőmérséklet az előre felvett hűtési ütemnek megfelelően követve csökkentjük. A jól megválasztott és megfelelő hűtési ütem garantálja a módszer konvergens viselkedését. A hűtési ütem tekintetében azonban a hőmérséklet csökkentésének helyes megválasztása nem könnyű feladat. Számos szerző bemutatta, hogy a hőmérséklet túl gyors csökkentése a célfüggvény lokális minimumhelyében való elakadást eredményezheti. Az ajánlott választás, ha az n-edik iterációban a hőmérséklet arányos l/ln(n+l) kifejezés értékével (Szűcs és Civan 1996). Ingber (1989) módosította a Metropolis algoritmust, és bevezette a Very Fast Simulated Annealing (VFSA) módszert, amely sokkal rövidebb futási időt igényel sokparaméteres modellek esetén. Ebben az esetben az alapelv az, hogy minden egyes modell paraméternek különböző nagyságú tartománya van, amelyek különböző mértékben befolyásolják a hibafüggvényt.
