Hidrológiai Közlöny 2006 (86. évfolyam)

4. szám - Lőrincz János–Imre Emőke–Trang Q. P.: A szemeloszlási entrópia

15 A szemeloszlási entrópia Lőrincz János

1, Imre Emőke

2, Trang, Q. P.

1 'Gradex, 1034. Budapest, Becsi ut 120, !,

3BME, Geotechnikai Tanszék, 1111. Budapest, Műegyetem rp. 3. Kivonat: A szemeloszlási görbék klasszikus jellemzői a görbe néhány pontjához kapcsolódnak, mig a szemeloszlási entrópia a görbét egészében jellemzi. Ezt mutatja be a tanulmány, szemeloszlás, entrópia, valószínűség: rendszernek az egy elemre jutó entrópiája pozitív egység legyen (7. ábra). A (3) képlet alapján: S = -(0.5log

b0.5 + 0.5log

b0.5) = \ (4) l_.ct._o (5

) Kulcsszavak: Bevezetés A klasszikus szemeloszlási görbe jellemzők (pl. mértékadó szemcseátmérő d

m, egyenlőtlenségi mutató U) a szemeloszlási görbe néhány pontjához kapcsolódik csupán, míg a szemeloszlási entrópia az egész görbe jellemzőit magában foglalja. így nem meglepő, hogy szemeloszláson alapuló szabály állítható fel, illetve módosítható a szemeloszlási entrópia alapján. Eddig a következő területeken születtek eredmények: - a vázszerkezet stabilitása (szemcsemozgási kritériumok), - szemcsehalmazok szétosztályozódása, - szűrőszabályok, - száraz térfogatsűrűség a leglazább állapotban, - a víztartási görbe és a szemeloszlási görbe közötti kapcsolat, - a kötött talajok esetén alkalmazott, mésszel való módosítás sikerességének megértése, - a diszperzív jelleg, a buzgárosodásra való hajlam megértése. Statisztikus entrópia Legyen n egymással egyenlő szélességű statisztikai cella. M

t az elemek száma az i-edik cellában. M az összes elemek száma. M i S"= MS s = -2>,-.iog

f

t aj (1) (2) (3) ahol a, az egyes cellák gyakorisága, S az egy elemre jutó, vagy fajlagos entrópia, S" a statisztikus entrópia. A logaritmus alapszámának megválasztása 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 A két komponens aránya [-] 7. ábra A legegyszerűbb rendszer entrópiája Igen egyszerű statisztikus rendszer az, amelynek elemei besorolhatók két egymás melletti cellába, és az n elem fele az egyik, fele a másik cellába tartozik. Ekkor a gyakoriságok érteke: a

t = a

; = 0.5. Válasszuk meg úgy a logaritmus alapszámát, hogy ennek a legegyszerűbb azaz: log

b 0.5 = -1 és 6 1 = 0.5 b = 2 tehát: a logaritmus alapszámát a jelen esetben a = 2-re kell választani. így az S fajlagos entrópia képlete a következő alakot ölti: 1 v / ln

aí In 2 ->í+l A 2 d

r Frakció, elemi cella Egy részecskehalmazt az "i-edik frakciónak" nevezünk, ha a szemcsék átmérőjének d eloszlása egyenletes az alábbi határok között: 'min — d > 2 d

mj

n ahol d

mi

n egy önkényesen választott cellaméret ("elemi cella"), amit e munkában 2 2

2 mm értékben vettünk fel, ami a Si0

4 tetraéder mérete (2. ábra). N a „frakciók" száma a legfinomabb és legdurvább között. Az i-edik frakció relatív gyakorisága .v„ , és felírható: v 1 ^ n W £ x, =1 , Xj >0 í=1 Talajok esetén a szemcseátmérő széles határok között változhat, emiatt a szemeloszlási vizsgálatnál használt sziták átmérője és így a „frakciók" mérete duplázódik. A statisztikus entrópia kiszámításához célszerű egy azonos cellaszélesség értelmezése, amely a következő megfontolással lehetséges: a frakciókat tovább bontjuk azonos szélességű elemi cellák mentén, és egy frakción belül egyenletes eloszlást feltételezünk. CT •ro w i o ro CT _ro O) m -C I lel :n) i < el:. (lik akció mm] 2. ábra Az egyes frakciókban lévő elemi cellák gyakoriságát tehát úgy vesszük fel, hogy feltesszük, a frakción belüli eloszlás egyenletes. Ekkor, ha az i-edik frakció C, elemi cellát tartalmaz, az i-edik frakcióban lévő elemi cellákra jutó relatív gyakoriság: xi N x — y c — = í r- ' r