Hidrológiai Közlöny 2005 (85. évfolyam)

1. szám - Szilágyi József: A diszkrét lineáris kakszkád modell kiterjesztése nem egész számú elemi tározókra

37 A diszkrét lineáris kaszkád modell kiterjesztése nem egész számú elemi tározókra Szilágyi József, Országos Vízjelző Szolgálat, VITUKI, 1095, Kvassay J. út 1., valamint Nebraskai Egyetem-Lincoln, Lincoln, NE, 68588-0517, USA Kivonat: A folyami előrejelzésekre használatos diszkrét lineáris kaszkád modell (DLCM) - amely a folytonos Kalinyin-MiljukovNash (KMN)-kaszkád állaponeres, diszkretizált változata - nem egész számú (n) elemi tározókra történő kiterjesztését Írjuk le. A folytonos kaszkád klasszikus általánosítása nem egész számú «-re egy időtől függő tározási együtthatót eredményez az állapotteres megfogalmazásban. Ennek elkerülése végett az eredeti homogén kaszkádot egy inhomogén kaszkáddal közelítjük, amely fgy biztosítja, hogy a tározási együttható konstans maradhasson a kaszkád állapotteres leírásában, diszkrét lineáris kaszkád modell, folytonos kaszkád, folyami előrejelzés. Kulcsszavak: Bevezetés Kalinyin és Miljukov (1957) folyami előrejelző módszerét több, mint egy fél évszázada használják a hidrológusok. A módszer feltételezi, hogy bármely folyószakasz olyan karakterisztikus szakaszok sorozatára bontható, ahol a kifolyás (0 a szakaszon tárolt pillanatnyi vízmennyiség (S) időben konstans lineáris függvénye, n sorba kapcsolt egyforma karakterisztikus szakasz impulzusválasz függvényére (h) (vagy más néven Green-fÜggvényére, ill. hidrológiában alkalmazott elnevezésére: egység árhullámára, IUH) a következő formulát kapták (1958) \n-l h{t) = k (k:t) --— e -ki r (») (i) ahol /fe [T"

1] a tározás-kifolyás lineáris függvényének 0(0 - kS{t) (2) ún. tározási állandója, és fa teljes gamma függvény re») = \r-\ -dt (3) ahol t az idő jele. Nash (1957), vízgyűjtők csapadék-lefolyás kapcsolatainak vizsgálata során, Kalinyin és Miljukovtól függetlenül vezette le az (1) egyenletet n egyforma, olyan lineáris tározók kaszkádjára, amelyet (2) definiál. Mivel lényegében ugyanarról a kaszkádról van szó mindkét esetben, célszerű egyesítve Kalinyin-Miljukov-Nash (KMN) -kaszkádnak nevezni. Szöllősi-Nagy (1976, 1981) az időben folytonos KMN-kaszkád állapotteres leírását adta meg az &t) = FS(t) + Gu(j) (4) egyenlet formájában, ahol a pont az időbeni deriváltat, u (VT

1] az első tározó pillanatnyi bemenetét, S az elemi tározások «-vektorát, G pedig a bemeneti vektort jelöli Q = [1,0,...,0]' (5) ahol az aposztróf a transzponálás jele, F pedig az nxn állapot vagy rendszer mátrix F = -k k 0 -k o o k 0 -k (6) A kimeneti egyenlet a kaszkád utolsó tározójából történő kifolyást definiálja. Q( 0 = HS(t) (7) alakban, ahol H= [0,...,k], A (4) egyenlet megoldása (Szöllősi-Nagy, 1982) t S(t) = Q(t, t

0 )S(t

0) + Jo(f, T)Gu(T)dT (8) alakban írható, ahol O (/,/„) = eaz nxn állapot-átmeneti mátrix k(t-t

0)e M [*(/->.r -»(i-i.) 0 -K i-i,) o o Mi-I.) (n-1)! A e (9) 0 M 0 *(!-<.) (10) Megjegyzendő, az (1) egyenlet által megadott egység-árhullám, n egész számú értékére, F első oszlopa utolsó elemének ^-szorosaként kapható a t

0 = 0 választással. Nash javasolta (Dooge, 1973), hogy gyakorlati számítások során, kívánatos lehet n értékének tört számot adni. Ez felveti azt a kérdést, hogy a folytonos, lineáris kaszkád fenti állapotteres leírásában miként vehető ez figyelembe, hiszen a rendszer mátrix, F, csak egész-számú dimenziót ölthet. Az állapotteres leírás két fontos előnnyel bír a hagyományos, Green-fÜggvényt alkalmazó konvolúciós integrállal, vagy diszkrét adatok esetén (azaz a pillanatnyi vízhozam-értékek nem folytonos grafikon képében, hanem általában szabályos időközönként állnak rendelkezésre), konvolúciós összegzéssel szemben: (a) optimális szűrési eljárások, mint pl. a híres Kalman-szürő (1960), a modellezett folyamat állapotteres leírását igénylik; (b) az időigényes konvolúciót egyszerű és gyors mátrix-műveletek helyettesítik. Mindkettőnek kitüntetett szerepe van operatív folyami előrejelzések készítésekor, különösen, nagy méretű, sok állomást tartalmazó folyóhálózat esetén, mint például a Duna és mellékfolyói; ill. nagyszámú időelőny alkalmazásakor. A homogén, tört dimenziójú kaszkád állapotteres közelítése Az (1) egyenlet definiálja az egység-árhullámot az n < 1 esetére is. A (4) állapotegyenlet-rendszer mátrixában - amely most skaláris kell, hogy legyen (és amelyet így /-fel jelölünk), lévén egyetlen, nem teljes elemi tározóról szó - az ún. „tört" elemi tározó tározási együtthatóját kell ennek megfelelően beírni. Megjegyzendő, hogy n = 1 választással,