Hidrológiai Közlöny 2003 (83. évfolyam)
4. szám - Biri Salah–Holnapy Dezső: Egy általánosított kaszkád-modell és alkalmazása
239 Egy általánosított kaszkád-modell és alkalmazása Biri Salah - Holnapy Dezső Budapesti Műszaki Egyetem Fotogrammetria és Térinformatika Tanszék 1111. Budapest, Műegyetem rakpart 3-9. K 1. 19. Kivonat: Az árhullámok levonulásának számításához elteijedten alkalmazzák a kaszkád modellt, amelynek matematikai háttere a konvolúció. A konvolúciót, folytonos függvények esetében, a nem könnyen kezelhető Laplace-féle transzformációval szokás megoldani Jelen cikkben — a szemléletes és könnyen programozható — sorozatok konvolúcióját és annak egy általánosítását mutatjuk be, majd alkalmazzuk a kútcsoportok működése során kialakuló nem-permanens vízmozgás számítására Kulcsszavak: kaszkád-modell, konvolúció, kúthidraulika. 1. Bevezetés A lineáris, állandó együtthatójú differenciálegyenletek egyik jól kezelhető megoldása folyamatok követésére a kaszkád modell. E módszer lényege az, hogy az (1) differenciálegyenlet általános megoldásában (2) [Rózsa, 1976] (1) (2) x(t) = ax i f(t) x(t) = e a'x 0+e a'\e-' n/(x).dx Az f(t) függvényt szakaszosan konstansnak véve, azt az integráljel elé kiemelhetjük, s így a megmaradó integrandusz egyszerűen, és a folyamatfiiggvénytől függetlenül egyszer s mindenkorra integrálható. A megoldás ezek után közönséges számtani müveletekkel nyerhető. Jelen tanulmányban először a folytonos függvényekről áttérünk numerikus sorozatokra, majd definiáljuk a sorozatok konvolúcióját [Graham 1998, Holnapy 2003], és ezután általánosítjuk a háttérben meghúzódó modellt differenciálegyenlet-rendszerekre. A lineáris tér szokványos bemutatása helyett a négyzetes mátrixok gyűrűje alatti vektor-modulusra térünk át (3. ábra), s így a vektorok mátrixokkal képzett lineáris kombinációjával (7. ábra) tudjuk feladatunkat modellezni. A kifejlesztett módszerben - mivel a (3) differenciálegyenlet-rendszer általános megoldása (4) hasonló (2)-hez - csak itt rendszerről van szó - minden ugyanúgy kezelendő, csak éppen több-dimenzióban. (3) x(t) =Ax+f(t) i (4) x(t) = e-x 0+e- je'o 2. Numerikus sorozatok és konvolúciójuk Tegyük fel, hogy van egy (5) ŰO, a,, a: a„, véges, de akármeddig folytatható sorozatunk, és ugyanígy egy (6) bo, b,. b 2, ...,b m sorozat, amely egy egység-ok válasz sorozatának tekinthető. Az egymás után következő egység-hatás válasz sorozatait az l. ábrán láthatjuk. M FJII^HMTIß TÚUM /. ábra Az egymás után következő egység hatás válaszsorozatai a ok okéul 2. ábra. A tényleges ok és a létrejött okozat Ha az (5) a tényleges ok sorozatának tekinthető, akkor az okozat sorozata a következőképpen hozható létre: n= 0 l 2 3 a 0b 0 ao bi ao b2 ao b3 (7) a,b 0 a,bj a,b 2 a 2b, a 2b 0 a 3b 0 n=0 n=l n~2 n=3 Yj a' b"-> • X•Yu ai b"i r=0 i=0 i-0 i=0 A (7) okozat a 2. ábrán szemléltethető. Megjegyezhetjük, hogy az irodalom [Graham 1998] a sorozatokhoz a (8) karakterisztikus függvényeket szokta hozzárendelni (mert nem akar megszabadulni a folytonos függvényektől): A(x) - a 0 + a/x + a 2x 2 + a 3x 3 +- - + a nx" R(x) - b 0 + bjx + b 2x 2 + bjx 3 +••• + b mx m amelyek szorzat-polinomja (8)
