Hidrológiai Közlöny 2000 (80. évfolyam)

4. szám - Péntek Kálmán–Veress Márton–Szunyogh Gábor: Karsztos formák matematikai leírása függvényekkel

198 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 2000. 80. ÉVF. 4. SZ. töbörnek nevezzük. Azt a fJ..]0,L] -> R függvényt pedig, amely görbéjének az x-tengely körüli megforgatásával előállíthatjuk az ideális töbröt, a szóbanforgó kiindulási töbör mendián-fuggvényének nevezzük. A meridián-függvény explicit alakját a terület-függvénnyel való kapcsolata révén könnyen meghatározhatjuk. Értelmezése folytán ugyanis a teljes ]0,L] intervallumban érvényes a (3) t(x) = ii\x)n összefüggés, amelyből a (2) képlet felhasználásával (4) m(x)={^ ln^

K (0 <x<L) adódik. A (4) összefüggés segítségével már könnyen adhatunk függvénytani jelentést az L, M és a K paramétereknek (Veress, M.-Péntek, K. 1987). X i. aora Egy töbörhöz hozzárendelt koordináta-rendszer és az {(x,y,), (x

2y2), (x„yj} értékpárok geometriai jelentése. Aa.L>0 paraméter a töbör legmélyebb pontjának és e töbörhöz illesztett koordináta-rendszer origójának távolságát jelenti, vagyis L a töbör vertikális kiterjedését jellemzi. Rögzített M és K értékek mellett minél nagyobb az L értéke, annál mélyebb a töbör. Az M < 0 paraméter jelentése a következő: rögzített L és K paraméteí értékek mellett összehasonlítva egy M\ és egy Mi paraméterű (0 > M\ > M

2) ideális töbör megfelelő jii(x) és ii

2(x) meridiánfüggvényei között fennáll (4) alapján a fJ.\(x) > /i

2(x) egyenlőtlenség. így az M paraméter a töbör horizontális kiterjedését jellemzi. Rögzített L és K értékek mellett minél kisebb tehát az M < 0 abszolút értéke, annál szélesebb a töbör. A K > 1 paraméter jelentését vizsgálva rögzítsük L és Ki paraméterek értékét, és határozzuk meg a ß(x) meridián-függvény ß'(x), fi"(x) és n"'(x) derivált függvényeit. A H"(x

0) = 0 feltételből az inflexiós pont helye. (5) x

0=L e*~', Az ebben a pontban felvett függvényérték pedig: <6) m

M=täf Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy az x

0 valóban a meridián-függvény inflexiós pontjának a helye lesz, mivel ß"'(x

0) * 0 teljesül. Az x

0 helynek az L paraméterhez viszonyított aránya: (7) l = ^ = , amiből látható, hogy a K paraméter a ß(x) meridián-függvény görbéjén a konvex és a konkáv íveket elválasztó inflexiós pont helyzetétől függ. Mivel -l—l -L-l , (8) lime

K =e°-l és lim e

K , K-*l K-tx e ezért a X. arány az ]e"',l] intervallumban változhat. Rögzített LésM értékek mellett minél nagyobb a K > 1 értéke, a töbör legmélyebb pontjához viszonyítva annál magasabb szinten található az inflexiós pont a (7) és (8) összefüggések alapján. Az ideális töbörré alakítás konstrukcióját és a meridián-függvényt szemlélteti a 2. ábra. 2. ábra Egy valóságos töbör térfogattartó transzformációja forgásszimmetrikus ideális töbörré. Ezután meghatározzuk az előzőekben vizsgált töbör ságos töbrünkhöz a meridiánfuggvény segítségével leírhatérfogatát. A fentiekben látottak szerint elegendő a való- tó ideális töbör térfogatát meghatározni, hiszen ezt az etopdógikus transzformáció valóságos töbör ideális töbör