Hidrológiai Közlöny 1997 (77. évfolyam)

1-2. szám - 3-4. szám - 4. szám - Szél Sándor: Háromkarakterisztikás numerikus módszer morfológiai folyamatok számítására

] 204 HIDROLÓGIAI KÖZLÖNY 1997. 77. ÉVF. 3. SZ. C [LT

1] - a Chézy-t&e medersimasági együttható, k [L'^T

1] - a Srickler - Manning-téle medersimasági együttható. A fenti három differenciálegyenletből álló differenciálegyenlet rendszer, adott kezdeti- és peremfeltételek melletti megoldására számos numerikus módszer ismeretes. Az általunk kidolgozott számítási eljárás alapja a karakterisztikák explicit, Euler - Lagrange-i módszere. Az általunk ismertetésre kerülő módszer mozdulatlan mederfenék esetére (két karakterisztikás modell) megtalálható számos dolgozatban (lásd például: Kozák, 1977, Cunge, Holly, Verwey, 1980). A háromkarakterisztikás számítási eljárást, vagyis a karakterisztikák módszerének első alkalmazását morfológiai folyamatok számítására OTKA tanulmányunk tartalmazza (Szél, 1993). A két karakterisztikás numerikus modellt (mozdulatlan mederfenék esetére) korábban továbbfejlesztettük, szabadfelszínű- és nyomás alatti áramlások számítására (Szél, 1995). Lökéshullámok mederfenékmozgásra gyakorolt hatásának számítására Lagrange-i, mozgó koordinátás számítási módszert hoztunk létre, amely szintén alkalmazható általánosabb szabadfelszínű, sekélyvízi áramlások modellezésére is (Szél, Kristóf, 1996). Rátérünk a háromkarakterisztikás numerikus számítási eljárás ismertetésére. Kibővítjük a fenti három differenciálegyenletből álló egyenletrendszert a következő három, az áramlási változókra (u, h és z) érvényes, teljes deriváltakra vonatkozó összefüggéssel: du - uflt + u

xdx, (4) dh = h/dt + h

xdx, (5) dz = z/dt + z/lx. (6) A hat differenciálegyenletből álló differenciálegyenlet rendszer áramlási változóinak parciális deriváltjait szorzó együtthatómátrixának determinánsát zérussal egyenlővé tesszük (ez a feltétele annak, hogy a nem triviális megoldástmegkapjuk) és ezáltal a karakterisztikus sebességekre (c = dx/dt) egy harmadrendű egyenletet kapunk, amely a következő: c

3 - 2uc

2 - (gh + gX

u - u

2)c - (gh\

b - guk) = 0. (7) A kapott egyenletrendszert megoldásából három karakterisztikus sebesség adódik (c,, c

2 és c

3). Miután a differenciálegyenlet rendszer jobb oldalán lévő oszlopvektorból és az együtthatómátrixból képezett mátrix determinánsát egyenlővé tesszük zérussal, kapjuk a következő egyenletet: ( + gc"K

u - guk

u + + ghc + uc 2 - cu 2 ) du + + ( gcX

h + gc 2 ) dh + + ( gc 2 - gue )dz + (8) + ( ruc - rc 2 + gcw - gec + gev ) • dx = 0. A kapott egyenletet alkalmazzuk a három karakterisztikus sebességre (c

v c

2 és c

3), így három egyenletből ((8) egyenlet) álló egyenletrendszert kapunk az áramlási változók teljes megváltozásaira (du, dh és dz -re). Az eljárást minden időlépésben megismételjük. A számítás menete a következő lépésekből áll: 1.) felbontjuk a számítási tartományt véges hosszúságú szakaszokra, a folytonos időt véges nagyságú időlépések sorozatára, majd minden egyes osztóponton meghatározzuk a karakterisztikus sebességeket (c,, c

2 és c

3) a (7) egyenletből, amelyre a komplex Cardano-ié\e számítást alkalmazzuk (a kezdeti feltételből és a peremfeltételekből kiindulva), 2.) minden osztóponton meghatározzuk az adott osztóponthoz, az adott időszinten tartozó három úgynevezett karakterisztika talppontot, a dx/dt = c„ dx/dt = c

2 és dx/dt = c

3, egyenletek numerikus integrálása segítségével, amelyre a másodrendű Runge - Kutta-féle eljárást alkalmazzuk. 3.) a talppontokat közrefogó, rögzített helyen lévő szelvények változóinak értékeiből interpoláció (esetünkben az elsőrendű Lagrange -féle interpolációt alkalmazzuk) segítségével meghatározzuk a talppontok helyén érvényes áramlási változókat, amely alapján megoldhatjuk a (8) egyenletrendszert (erre a Cramer módszert alkalmazzuk), ezután a számított teljes megváltozásokat hozzáadjuk a számítási időlépés kezdeti értékéhez (például: u(x,t

0+At) = u(x,t

0) + Au(t

0)). A kidolgozott számítási eljárás továbbfejlesztésének több fontos iránya mutatkozik, ugyanis a módszer önmagában pontatlanná válik nagyobb erősségű lökéshullám jelenléte esetén (ez akkor áll elő, ha a lökéshullámban lévő Froude-féle szám nagyobb mint körülbelül 0.5, fenéksúrlódás figyelembevételével a hiba lényegesen kisebb mértékű), amely például a kezdeti feltételben bekövetkező vízfelszín szakadás (gátszakadás, hirtelen gátnyitás) miatt alakult ki. Csökkenthető a numerikus modell alacsonyabbrendú (elsőrendű) közelítést biztosító, interpolációból adódó numerikus diffúziója vagyis a hullámfront valóságosnál nagyobb mértékű ellapulása. Az interpoláció célszerűen alkalmazható módjait a következőkben tárgyaljuk, de előbb az erős lökéshullámok pontosabb számításának két lehetőségét ismertetjük: - A folyadékokra érvényes Rankine - Hugoniot-féle öszszefüggés alapulvételével egyenletrendszert oldunk meg a szakadás két oldalán áthaladó fluxusok egyenlőségének teljesülése érdekében (lásd például Cunge, Holly, Verwey, 1980 könyvében található, mozdulatlan mederfenék esetére ismertett módszert, amelyet "shockfitting" eljárásnak neveznek). - A karakterisztikák módszerét, mint korrektor lépést alkalmazzuk, majd a kapott eredményt pontosítjuk az úgynevezett speciális prediktor számítási lépéssel. Mozdulatlan mederfenékre az eljárást már kidolgozták (Goussebaile, Lepeintre, 1988). A számítási pontosság jelentős mértékben javítható az interpoláció módjának változtatásával. Az optimális megoldást az jelentené, ha a numerikus diszperziótól (numerikus oszcilláció) mentes, harmadrendű Hermite-fé\e interpolációt alkalmaznánk Ehhez szükséges a Riemann-invariánsok és az áramlási változók közötti összefüggés megkeresése azért, hogy ezek a mennyiségek egymásból szá-