Hidrológiai Közlöny 1996 (76. évfolyam)
1. szám - Mosonyi Emil: A valószínűleg legnagyobb (PMF) árvízi vízhozam és a béta-eloszlás alkalmazása a t-évenként előforduló árvízi hozamok meghatározásakor
MOSONYI E.: A valószínűleg legnagyobb árvíz .. 17 A PMF kiszámításakor a mértékadó nyári egy órás egységhullámképet használtuk (4. ábra). A kritikus esőidőtartamra eredményül a D kri t - 4 h adódott. Ezt a legnagyobb érték meghatározásának módszerével állapítottuk meg. A lefolyó vízhozam legnagyobb értékeit statisztikai elemzéssel határoztuk meg. Ennek az elemzésnek az alapja a (0,1) tartományra vonatkozó béta-eloszlás volt. A 99,5 % meg nem haladási valószínűségű értéket választottuk: cp = 0,55 (5. ábra). Ez az első pillanatra kicsinynek látszhat, ennek az erdőkkel nagyságrészben sűrűn borított területnek az esetében azonban mégis nagy érték; a mért kilenc lefolyási tényező 0,14 és 0,39 között volt. Az említett adatokat alkalmazva a PMF következő értékeit kaptuk: PMFQ = 250 m 3/s, PMFq = 4.650 1/s.km 2 A HQt statisztikai meghatározása céljából a Rontenbach-\ vízmércénél mért vízhozamok évi legnagyobb értékei állottak rendelkezésre, összesen 30 nagyvízhozam. Az eloszlásfüggvény alsó határértékéül (a béta-eloszlás u változójául) a mérési adatokból kiszámított évi középvízhozamok legkisebb értékét fogadtuk el. A szerzők véleménye szerint ez lehet az egyik legésszerűbb alsó határérték. Az u nagysága 0,75 m 3/s volt. A 30 év folyamán mért évi legnagyobb vízhozamok legkisebb értéke, HQ mi n = 2,8 m 3/s volt HJ IOO 09» OM OH -OKI — HJ IOO 09» OM OH / £ •-M ff IOO 09» OM OH / £ •-M ff IOO 09» OM OH / j • IOO 09» OM OH / j • IOO 09» OM OH i *<UI IOO 09» OM OH | 055 *<UI 01 05 06 07\ 1 1 —7— V/11 1 1 O út 0/ 01 Ot OS OM 07 OS 09 10 5. ábra A legnagyobb lefolyást jellemző értékek a béta-eloszlás szerint (u = 0, v = 1). A v felső határértékéül az eloszlásban a PMF 250 m 3/s értékét használtuk. Ily módon a fennmaradó a és b változó az X = 14,5 m 3/s középérték és az s 2 = 81,8 m^/s 2 variancia segítségével kiszámítható volt. Eredményül kapott értékek: a = 2,12, b = 36,20. A következőkben feltüntetett kvantiliseket az IMSLből származó szubrutinnal határoztuk meg: Ha az a és b meghatározására a több munkával járó legnagyobb érték - valószínűség számítás módszerét alkalmazzuk, (meghatározott u és v értéket feltételezve), a következő eredményeket kapjuk: a = 2,00, b= 34,50. A megfelelő kvantilisok a következők: T(év) 10 50 100 200 1000 10000 HQr (m 3/s) 27,0 39.1 43.8 48,4 58,6 71.9 Példánk esetében a momentumok módszerétől tehát számottevő eltérés nem volt. Az alsó és a felső határérték kvantilitások kiszámítására gyakorolt hatásának megállapításához a 100 évenként előforduló, különböző u és v értékekhez tartozó legnagyobb vízhozamokat a momentumok módszerével is kiszámítottuk (/. táblázat). 1. táblázat A béta-eloszlás alapján meghatározott, különböző u és v határértékekhez tartozó HQiqq értékek. u (m 3/s) v (m 3/s) u (m 3/s) 110 130 150 1 70 190 230 250 u (m 3/s) HQ mf l (m 3/s) 0 41,6 41.9 42.1 42,3 42,4 42.6 42,6 0,75 42,0 42,3 42,5 42,7 42,8 42,9 43,0 1.50 42.4 42,7 42.9 43.1 43,2 43.4 43,4 2.0 43.9 43.5 43.7 43,7 2 ?5 43,7 43.8 44.0 44.1 Az eredmények arra hívták fel a figyelmet, hogy a felső határérték bizonytalansága a HQt értekét számottevő mértékben nem befolyásolja. A felső határérték mintegy 100 %-os változása esetében a legnagyobb különbség 2,4 %! A más évi előfordulási gyakoriságokra vonatkozó számításoknak is ez az eredménye (2. táblázat). Ennek következtében az a pontosság, amellyel a PMF meghatározható,, a gyakorlat számára teljesen kielégítő lehet. Hasonlóképpen nem látszik kritikusnak az alsó határérték esetleges változása sem, bár ebben egy kissé nagyobbak az eltérések. 2. táblázat Különböző gyakoriságú HQt értékek kiszámítása a béta-eloszlás alapján a nyomatékok módszerével, feltételez\'e, hogy u = const és értéke 0,75 m-Vs és a v változó. V (m 3/s) Visszatérési idő, T év) V (m 3/s) 10 50 100 200 1000 10000 100 27,0 37,8 41,8 45,5 53.1 62,0 150 26,8 38.1 42,5 46,6 55.5 66,6 210 26.8 38,3 42,9 47,2 56,7 69,2 220 26.8 38,3 42.9 47,3 56,9 69,4 230 26,7 38.4 42,9 47,4 57,0 69,8 240 26,7 38,4 43,0 47.4 57,1 69,8 250 26.7 38.4 43,0 47,5 57,2 70,1 A szokásos eloszlásokkal való összehasonlítás lehetővé tétele céljából a kvantílitásokat néhány más eloszlásfüggvényt alkalmazva is kiszámítottuk. Az eredményeket a 3. táblázat tartalmazza. Amint látható, az eredmények ugyanabban a nagyságrendi tartományban vannak (kivéve a lognormális eloszlást). Eltérések mindenekelőtt a kisebb előfordulási gyakoriságoknál (a nagyobb számú éveknek megfelelő gyakoriságoknál) vannak, ahol a béta-eloszlás értékei rendT(év) 10 50 100 200 1000 10000 HQ r (m 3/s) 26,7 38,4 43.0 47.5 57.2 70,1
