Hidrológiai Közlöny 1995 (75. évfolyam)

2. szám - Gáspár Csaba–Józsa János–Simbierowicz, Pawel: Új szemléletmód a numerikus hidraulikában. IV. Áramlási és transzportfolyamatok Langrange-féle modellezése egyenlőtlen hálók használatával

GÁSPÁR CS. et a!.: Új szemléletmód IV. 83 a részecskék új pozíciójára az alábbi formulákat nyerjük: n+1/2 n . n y

k = x

k + A t-v

k (k=l,2,...,N). A (b) diffúziós lépés (ami fizikailag örvénydiszperziót jelent) megoldása hasonló módon történhet, mint az előző részben tárgyalt skalártranszport esetében (QT-hálókon multigrid módszerrel). Ugyanez áll a (c) Poisson-egyenletre is. A megoldás menete tehát a következő (ld. még Gáspár és Józsa (1991)): 1. Az örvényrészecskék (x

k,y

k) pozícióit felújítjuk, legegyszerűbben a (23) formulák alkalmazásával; 2. Az örvényrészecskék által vezérelten QT-hálót generálunk: ennek térbeli felbontása követni fogja az örvény részecskék sűrűségét; 3. Ezen a QT-hálón megoldjuk a (18) diffúziós lépést multigrid módszerrel; 4. Ugyanezen a QT-hálón megoldjuk az áramfüggvényre vonatkozó Pomon-egyenletet, úgyszintén multigrid módszerrel; 5. A (20) formula diszkrét megfelelőjével felújítjuk az aktuális sebességeket, és folytatjuk az eljárást az 1.ponttól. Megjegyzések: 1. A (b) diffúziós lépésre sokszor jól alkalmazható az egyszerű, szintén Lagrange- féle (azaz rácsmentes) Monte-Carlo-módszer, amikor is a diffúziót véletlen bolyongással szimuláljuk (Chorin (1973)). Ha a diffúzió "súlya" a folyamatban a többi részhez képest kicsiny, ez a lépés el is hagyható. Ez a helyzet pl. a Kelvin-Helmholz-féle instabilitás esetén, amikor az örvényréteg felcsavarodás jellegztetes formájáért nem a (b), hanem sokkal inkább a (c) lépés felelős. 2. A (19) Poi.v.voH-egyenlet fenti megoldása lényegében egy QT-hálón értelmezett változata az ún. "cloud-in-cell" módszernek (Christiansen (1973)). Az eredeti módszer rögzített rácshálót használ, melyen a Pomon-egyenlet megoldása multigrid módszerrel gyorsítható (Józsa (1991)). Jelen változat nagy előnye, hogy a multigrid megoldást nem egy, a változásokra érzéktelen rögzített hálón, hanem a változásokat rugalmasan adaptáló QThálón szolgáltatja. 3. A (19) Poisson-egyenlet elvileg más módokon is megoldható, kihasználva azt, hogy (19) jobboldala pontforrások szuperpozíciója. így - legalábbis a perem hatásától eltekintve, tehát a peremektől távol - a megoldás ilyen, logaritmikus szingularitású tagok összege, így a felújított sebességek (ld. a (20) formulákat) analitikusan is kiszámíthatók: az eredmény formailag a BiotSavart-törvény formulájával egyezik. Azonban e formulák kiértékelése nagyon számításigényes, tekintve, hogy minden Lagrange-féle pontban egy A'-tagú összeget kell kiértékelni, ami összesen 0(/V

2) műveletet jelent. Ha N nagy, akkor ez a műveletszám megengedhetetlenül naggyá válik. E formulák egy elegáns (komplex függvénytani eszközöket felhasználó) közelítő kiértékelésén alapszik az ún. multipólus módszer, melynek műveletigénye sokkal kevesebb, csak 0(AMog N) (van Dommelen és Rundensteiner (1989); Greengard és Gropp (1990)). A módszer további érdekessége, hogy ugyancsak QT-hálókat használ. Mindazonáltal igen speciális, lényegében csak erre a problémára (ti. nagyszámú pontforrás hatásának kiértékelésére) alkalmazható: célunk ezzel szemben épp az, hogy az általunk bevezetett QThálós multigrid módszerek flexibilitását minél általánosabb problémákra alkalmazva megmutassuk. Alkalmazás a Kelvin-Helmholz-instabilitás problémájára A fentieket illusztrálandó, tekintsük a Kelvin-Helmholzféle hidrodinamikai instabilitás problémáját. Dimenziómentes változókat használva, az áramlási tartomány legyen az egységnégyzet, és tekintsük azt az áramlást, melynek sebessége a t=0 időpontban mindenütt vízszintes irányú, és különböző nagyságú az y>0.5 és az y <0.5 résztartományokon. A vizsgált konkrét példában a felső résztartományon a sebesség nagysága 10 egység volt, míg az alsó részen zérus. A két résztartományt elválasztó egyenesszakasz (y=0.5) mentén kezdetben 1200 örvényrészecskét helyeztünk el, egyforma cirkulációval, egyenletesen. Ezekután az áramlást az előző szakaszban leírt módon modelleztük, tehát az advektív részt a részecskék tovamozgatásával, a diffúziós részt Monte-Carlo-módszerrel, a Pomon-egyenletet pedig a részecskék által generált QT-hálón, multigrid módszerrel oldottuk meg. Az egyes időlépésekben gondoskodtunk újabb örvényrészecskék "beadagolásáról" és a kiáramló örvényrészecskék "kivonásáról" is (ez tkp. az w-ra vonatkozó peremfeltétel érvényesítését jelenti!). A 4. ábrán az örvény részecskék eloszlását mutatjuk 3 különböző időpontban, mely jól láttatja a nyíróréteg fejlődését. Az ábrák egyúttal újólag demonstrálják a QThálók adaptív felbontását is. Összefoglalás, következtetések Jelen dolgozattal befejeződő cikksorozatunkban egy sokat ígérő "új szemléletmódot" igyekeztünk több oldalról is bemutatni, melynek, úgy hisszük, igen komoly lehetőségei vannak, többek között a numerikus hidraulikában is. Ennek lényege a hagyományos, ekvidisztáns végesdifferenciás szemlélettel való szakítás, melynek helyébe az annál sokkal általánosabb QT-hálók lépnek. Maga a QT-háló egy térben egyenlőtlen felbontású, de derékszögű, igen kényelmesen, mindazonáltal flexibilis módon generálható háló, mely egy kiindulási négyzet rekurzív, szisztematikus tovább-bontásán alapszik (quadtree algoritmus). Ezáltal lehetségessé válik, szemléletesen szólva, hogy "csak oda koncentráljunk, ami lényeges". A QT-hálók használatával együtt jár, hogy a rács- és mátrix-szemlélet helyett gráfok lépnek fel: új jelenség, hogy a hagyományos ekvidisztáns rácsoknál szokatlan módon a szomszédság fogalma nem triviális, és meghatározásához gráf-bejáró algoritmusok kellenek. Az "új szemléletmód" másik eleme a multigrid technika, amit a QT-hálók sajátos szerkezetébe ágyazottan építünk fel. E